حل {l}{5x-4y=19}{x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 4 y = 19 } \\ { x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

$$y = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1.142857143$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-4y=19$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=4y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4y+19.

$$x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y+19}{5} في المعادلة الأخرى، x+2y=7.

$$\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}+2y=7$$

اجمع \frac{4y}{5} مع 2y.

$$\frac{14}{5}y+\frac{19}{5}=7$$

اطرح \frac{19}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{14}{5}y=\frac{16}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{14}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{8}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{7} في x=\frac{4}{5}y+\frac{19}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{4}{5}\times \frac{8}{7}+\frac{19}{5}$$

اضرب \frac{4}{5} في \frac{8}{7} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{32}{35}+\frac{19}{5}$$

اجمع \frac{19}{5} مع \frac{32}{35} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{33}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-4\right)}&-\frac{-4}{5\times 2-\left(-4\right)}\\-\frac{1}{5\times 2-\left(-4\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{14}&\frac{5}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 19+\frac{2}{7}\times 7\\-\frac{1}{14}\times 19+\frac{5}{14}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{33}{7}\\\frac{8}{7}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-4y=19,x+2y=7$$

لجعل 5x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5x-4y=19,5x+5\times 2y=5\times 7$$

تبسيط.

$$5x-4y=19,5x+10y=35$$

اطرح 5x+10y=35 من 5x-4y=19 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x-4y-10y=19-35$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-4y-10y=19-35$$

اجمع -4y مع -10y.

$$-14y=19-35$$

اجمع 19 مع -35.

$$-14y=-16$$

قسمة طرفي المعادلة على -14.

$$y=\frac{8}{7}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{8}{7} في x+2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+2\times \frac{8}{7}=7$$

اضرب 2 في \frac{8}{7}.

$$x+\frac{16}{7}=7$$

اطرح \frac{16}{7} من طرفي المعادلة.

$$x=\frac{33}{7}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{33}{7},y=\frac{8}{7}$$