حل {l}{5x-3y-2=0}{4x+7y+3=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y - 2 = 0 } \\ { 4 x + 7 y + 3 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{47}\approx 0.106382979$$

$$y=-\frac{23}{47}\approx -0.489361702$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y-2=0$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$5x-3y=2$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+2}{5} في المعادلة الأخرى، 4x+7y+3=0.

$$4\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+7y+3=0$$

اضرب 4 في \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{12}{5}y+\frac{8}{5}+7y+3=0$$

اجمع \frac{12y}{5} مع 7y.

$$\frac{47}{5}y+\frac{8}{5}+3=0$$

اجمع \frac{8}{5} مع 3.

$$\frac{47}{5}y+\frac{23}{5}=0$$

اطرح \frac{23}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{47}{5}y=-\frac{23}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{47}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{23}{47}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{23}{47} في x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{23}{47}\right)+\frac{2}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -\frac{23}{47} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{69}{235}+\frac{2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع -\frac{69}{235} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\4&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{3}{47}\\-\frac{4}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 2+\frac{3}{47}\left(-3\right)\\-\frac{4}{47}\times 2+\frac{5}{47}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{47}\\-\frac{23}{47}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y-2=0,4x+7y+3=0$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\left(-3\right)y+4\left(-2\right)=0,5\times 4x+5\times 7y+5\times 3=0$$

تبسيط.

$$20x-12y-8=0,20x+35y+15=0$$

اطرح 20x+35y+15=0 من 20x-12y-8=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-12y-35y-8-15=0$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-12y-35y-8-15=0$$

اجمع -12y مع -35y.

$$-47y-8-15=0$$

اجمع -8 مع -15.

$$-47y-23=0$$

أضف 23 إلى طرفي المعادلة.

$$-47y=23$$

قسمة طرفي المعادلة على -47.

$$y=-\frac{23}{47}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{23}{47} في 4x+7y+3=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+7\left(-\frac{23}{47}\right)+3=0$$

اضرب 7 في -\frac{23}{47}.

$$4x-\frac{161}{47}+3=0$$

اجمع -\frac{161}{47} مع 3.

$$4x-\frac{20}{47}=0$$

أضف \frac{20}{47} إلى طرفي المعادلة.

$$4x=\frac{20}{47}$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{5}{47}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{47},y=-\frac{23}{47}$$