حل {l}{5x-3y=2}{6x+2y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 2 } \\ { 6 x + 2 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{11}{28}\approx -0.392857143$$

$$y = -\frac{37}{28} = -1\frac{9}{28} \approx -1.321428571$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=2$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+2.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+2}{5} في المعادلة الأخرى، 6x+2y=-5.

$$6\left(\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}\right)+2y=-5$$

اضرب 6 في \frac{3y+2}{5}.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+2y=-5$$

اجمع \frac{18y}{5} مع 2y.

$$\frac{28}{5}y+\frac{12}{5}=-5$$

اطرح \frac{12}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{28}{5}y=-\frac{37}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{28}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{37}{28}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{37}{28} في x=\frac{3}{5}y+\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\left(-\frac{37}{28}\right)+\frac{2}{5}$$

اضرب \frac{3}{5} في -\frac{37}{28} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{111}{140}+\frac{2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع -\frac{111}{140} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{11}{28}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}&\frac{3}{28}\\-\frac{3}{14}&\frac{5}{28}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{14}\times 2+\frac{3}{28}\left(-5\right)\\-\frac{3}{14}\times 2+\frac{5}{28}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{11}{28}\\-\frac{37}{28}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=2,6x+2y=-5$$

لجعل 5x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 2,5\times 6x+5\times 2y=5\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$30x-18y=12,30x+10y=-25$$

اطرح 30x+10y=-25 من 30x-18y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x-18y-10y=12+25$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y-10y=12+25$$

اجمع -18y مع -10y.

$$-28y=12+25$$

اجمع 12 مع 25.

$$-28y=37$$

قسمة طرفي المعادلة على -28.

$$y=-\frac{37}{28}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{37}{28} في 6x+2y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+2\left(-\frac{37}{28}\right)=-5$$

اضرب 2 في -\frac{37}{28}.

$$6x-\frac{37}{14}=-5$$

أضف \frac{37}{14} إلى طرفي المعادلة.

$$6x=-\frac{33}{14}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=-\frac{11}{28}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{11}{28},y=-\frac{37}{28}$$