حل {l}{5x-3y=1800}{6x-4y=1600}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 1800 } \\ { 6 x - 4 y = 1600 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1200$$

$$y=1400$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=1800$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+1800$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+1800\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 1800+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+360$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{5}+360 في المعادلة الأخرى، 6x-4y=1600.

$$6\left(\frac{3}{5}y+360\right)-4y=1600$$

اضرب 6 في \frac{3y}{5}+360.

$$\frac{18}{5}y+2160-4y=1600$$

اجمع \frac{18y}{5} مع -4y.

$$-\frac{2}{5}y+2160=1600$$

اطرح 2160 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{2}{5}y=-560$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{2}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1400$$

عوّض عن y بالقيمة 1400 في x=\frac{3}{5}y+360. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\times 1400+360$$

اضرب \frac{3}{5} في 1400.

$$x=840+360$$

اجمع 360 مع 840.

$$x=1200$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1200,y=1400$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{5}{5\left(-4\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{3}{2}\\3&-\frac{5}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1800\\1600\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 1800-\frac{3}{2}\times 1600\\3\times 1800-\frac{5}{2}\times 1600\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1200\\1400\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1200,y=1400$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=1800,6x-4y=1600$$

لجعل 5x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$6\times 5x+6\left(-3\right)y=6\times 1800,5\times 6x+5\left(-4\right)y=5\times 1600$$

تبسيط.

$$30x-18y=10800,30x-20y=8000$$

اطرح 30x-20y=8000 من 30x-18y=10800 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x-18y+20y=10800-8000$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-18y+20y=10800-8000$$

اجمع -18y مع 20y.

$$2y=10800-8000$$

اجمع 10800 مع -8000.

$$2y=2800$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=1400$$

عوّض عن y بالقيمة 1400 في 6x-4y=1600. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-4\times 1400=1600$$

اضرب -4 في 1400.

$$6x-5600=1600$$

أضف 5600 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=7200$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=1200$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1200,y=1400$$