حل {l}{5x-3y=10}{6y=kx-42}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 10 } \\ { 6 y = k x - 42 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{22}{k-10}$$

$$y=-\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(k-10\right)}$$

$$k\neq 10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح kx من الطرفين.

$$6y-kx=-42$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-3y=10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 3y+10.

$$x=\frac{3}{5}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{5}+2 في المعادلة الأخرى، \left(-k\right)x+6y=-42.

$$\left(-k\right)\left(\frac{3}{5}y+2\right)+6y=-42$$

اضرب -k في \frac{3y}{5}+2.

$$\left(-\frac{3k}{5}\right)y-2k+6y=-42$$

اجمع -\frac{3ky}{5} مع 6y.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y-2k=-42$$

أضف 2k إلى طرفي المعادلة.

$$\left(-\frac{3k}{5}+6\right)y=2k-42$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{3k}{5}+6.

$$y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)} في x=\frac{3}{5}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{5}\times \frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}+2$$

اضرب \frac{3}{5} في \frac{10\left(-21+k\right)}{3\left(-k+10\right)}.

$$x=\frac{2\left(k-21\right)}{10-k}+2$$

اجمع 2 مع \frac{2\left(-21+k\right)}{-k+10}.

$$x=-\frac{22}{10-k}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=\frac{10\left(k-21\right)}{3\left(10-k\right)}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح kx من الطرفين.

$$6y-kx=-42$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\-k&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&-\frac{-3}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\\-\frac{-k}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-3\left(-k\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}&\frac{1}{10-k}\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}&\frac{5}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-42\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{10-k}\times 10+\frac{1}{10-k}\left(-42\right)\\\frac{k}{3\left(10-k\right)}\times 10+\frac{5}{3\left(10-k\right)}\left(-42\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{22}{10-k}\\-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{22}{10-k},y=-\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(10-k\right)}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح kx من الطرفين.

$$6y-kx=-42$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-3y=10,\left(-k\right)x+6y=-42$$

لجعل 5x و-kx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -k وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$\left(-k\right)\times 5x+\left(-k\right)\left(-3\right)y=\left(-k\right)\times 10,5\left(-k\right)x+5\times 6y=5\left(-42\right)$$

تبسيط.

$$\left(-5k\right)x+3ky=-10k,\left(-5k\right)x+30y=-210$$

اطرح \left(-5k\right)x+30y=-210 من \left(-5k\right)x+3ky=-10k عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$\left(-5k\right)x+5kx+3ky-30y=-10k+210$$

اجمع -5kx مع 5kx. حذف الحدين -5kx و5kx، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3ky-30y=-10k+210$$

اجمع 3ky مع -30y.

$$\left(3k-30\right)y=-10k+210$$

اجمع -10k مع 210.

$$\left(3k-30\right)y=210-10k$$

قسمة طرفي المعادلة على -30+3k.

$$y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)} في \left(-k\right)x+6y=-42. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$\left(-k\right)x+6\times \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}=-42$$

اضرب 6 في \frac{10\left(21-k\right)}{3\left(-10+k\right)}.

$$\left(-k\right)x+\frac{20\left(21-k\right)}{k-10}=-42$$

اطرح \frac{20\left(21-k\right)}{-10+k} من طرفي المعادلة.

$$\left(-k\right)x=-\frac{22k}{k-10}$$

قسمة طرفي المعادلة على -k.

$$x=\frac{22}{k-10}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{22}{k-10},y=\frac{10\left(21-k\right)}{3\left(k-10\right)}$$