حل {l}{5x-2y=9}{4x-5y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 9 } \\ { 4 x - 5 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=9,4x-5y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=9$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 2y+9.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2y+9}{5} في المعادلة الأخرى، 4x-5y=-3.

$$4\left(\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}\right)-5y=-3$$

اضرب 4 في \frac{2y+9}{5}.

$$\frac{8}{5}y+\frac{36}{5}-5y=-3$$

اجمع \frac{8y}{5} مع -5y.

$$-\frac{17}{5}y+\frac{36}{5}=-3$$

اطرح \frac{36}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{17}{5}y=-\frac{51}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في x=\frac{2}{5}y+\frac{9}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\times 3+\frac{9}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في 3.

$$x=\frac{6+9}{5}$$

اجمع \frac{9}{5} مع \frac{6}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=9,4x-5y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 4\right)}&-\frac{-2}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 4\right)}\\-\frac{4}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 4\right)}&\frac{5}{5\left(-5\right)-\left(-2\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{2}{17}\\\frac{4}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 9-\frac{2}{17}\left(-3\right)\\\frac{4}{17}\times 9-\frac{5}{17}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=9,4x-5y=-3$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\left(-2\right)y=4\times 9,5\times 4x+5\left(-5\right)y=5\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$20x-8y=36,20x-25y=-15$$

اطرح 20x-25y=-15 من 20x-8y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-8y+25y=36+15$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-8y+25y=36+15$$

اجمع -8y مع 25y.

$$17y=36+15$$

اجمع 36 مع 15.

$$17y=51$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=3$$

عوّض عن y بالقيمة 3 في 4x-5y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x-5\times 3=-3$$

اضرب -5 في 3.

$$4x-15=-3$$

أضف 15 إلى طرفي المعادلة.

$$4x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=3$$