حل {l}{5x=2y+16}{7x=32-2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 y + 16 } \\ { 7 x = 32 - 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=2$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$5x-2y=16$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=32$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-2y=16$$

أضف 2y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=2y+16$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+16\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 16+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{16+2y}{5} في المعادلة الأخرى، 7x+2y=32.

$$7\left(\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}\right)+2y=32$$

اضرب 7 في \frac{16+2y}{5}.

$$\frac{14}{5}y+\frac{112}{5}+2y=32$$

اجمع \frac{14y}{5} مع 2y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{112}{5}=32$$

اطرح \frac{112}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{24}{5}y=\frac{48}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{24}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في x=\frac{2}{5}y+\frac{16}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\times 2+\frac{16}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في 2.

$$x=\frac{4+16}{5}$$

اجمع \frac{16}{5} مع \frac{4}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$5x-2y=16$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=32$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\7&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&-\frac{-2}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\\-\frac{7}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-2\times 7\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\-\frac{7}{24}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\32\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 32\\-\frac{7}{24}\times 16+\frac{5}{24}\times 32\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=2$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. اطرح 2y من الطرفين.

$$5x-2y=16$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 2y لكلا الجانبين.

$$7x+2y=32$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=16,7x+2y=32$$

لجعل 5x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$7\times 5x+7\left(-2\right)y=7\times 16,5\times 7x+5\times 2y=5\times 32$$

تبسيط.

$$35x-14y=112,35x+10y=160$$

اطرح 35x+10y=160 من 35x-14y=112 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35x-35x-14y-10y=112-160$$

اجمع 35x مع -35x. حذف الحدين 35x و-35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-14y-10y=112-160$$

اجمع -14y مع -10y.

$$-24y=112-160$$

اجمع 112 مع -160.

$$-24y=-48$$

قسمة طرفي المعادلة على -24.

$$y=2$$

عوّض عن y بالقيمة 2 في 7x+2y=32. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+2\times 2=32$$

اضرب 2 في 2.

$$7x+4=32$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$7x=28$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=2$$