حل {l}{5x=2(y+1)}{x+10=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x = 2 ( y + 1 ) } \\ { x + 10 = 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$5x=2y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 2+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{2+2y}{5} في المعادلة الأخرى، x-2y=-10.

$$\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}-2y=-10$$

اجمع \frac{2y}{5} مع -2y.

$$-\frac{8}{5}y+\frac{2}{5}=-10$$

اطرح \frac{2}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{8}{5}y=-\frac{52}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{8}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{13}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{2} في x=\frac{2}{5}y+\frac{2}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{2}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{2}{5}$$

اضرب \frac{2}{5} في \frac{13}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{13+2}{5}$$

اجمع \frac{2}{5} مع \frac{13}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$5x=2y+2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$5x-2y=2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x+10-2y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-2y=-10$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\\frac{1}{8}&-\frac{5}{8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\-10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 2-\frac{1}{4}\left(-10\right)\\\frac{1}{8}\times 2-\frac{5}{8}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 2 في y+1.

$$5x=2y+2$$

اطرح 2y من الطرفين.

$$5x-2y=2$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$x+10-2y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$x-2y=-10$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-2y=2,x-2y=-10$$

اطرح x-2y=-10 من 5x-2y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-x-2y+2y=2+10$$

اجمع -2y مع 2y. حذف الحدين -2y و2y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5x-x=2+10$$

اجمع 5x مع -x.

$$4x=2+10$$

اجمع 2 مع 10.

$$4x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=3$$

عوّض عن x بالقيمة 3 في x-2y=-10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$3-2y=-10$$

اطرح 3 من طرفي المعادلة.

$$-2y=-13$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=\frac{13}{2}$$