حل {l}{5x+y=9}{10x-7y=-18}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9 } \\ { 10 x - 7 y = - 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+y=9$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$5x=-y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -y+9.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+9}{5} في المعادلة الأخرى، 10x-7y=-18.

$$10\left(-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}\right)-7y=-18$$

اضرب 10 في \frac{-y+9}{5}.

$$-2y+18-7y=-18$$

اجمع -2y مع -7y.

$$-9y+18=-18$$

اطرح 18 من طرفي المعادلة.

$$-9y=-36$$

قسمة طرفي المعادلة على -9.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{5}\times 4+\frac{9}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في 4.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

اجمع \frac{9}{5} مع -\frac{4}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\10&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5\left(-7\right)-10}&-\frac{1}{5\left(-7\right)-10}\\-\frac{10}{5\left(-7\right)-10}&\frac{5}{5\left(-7\right)-10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}&\frac{1}{45}\\\frac{2}{9}&-\frac{1}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\-18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{45}\times 9+\frac{1}{45}\left(-18\right)\\\frac{2}{9}\times 9-\frac{1}{9}\left(-18\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+y=9,10x-7y=-18$$

لجعل 5x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$10\times 5x+10y=10\times 9,5\times 10x+5\left(-7\right)y=5\left(-18\right)$$

تبسيط.

$$50x+10y=90,50x-35y=-90$$

اطرح 50x-35y=-90 من 50x+10y=90 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$50x-50x+10y+35y=90+90$$

اجمع 50x مع -50x. حذف الحدين 50x و-50x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+35y=90+90$$

اجمع 10y مع 35y.

$$45y=90+90$$

اجمع 90 مع 90.

$$45y=180$$

قسمة طرفي المعادلة على 45.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 10x-7y=-18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x-7\times 4=-18$$

اضرب -7 في 4.

$$10x-28=-18$$

أضف 28 إلى طرفي المعادلة.

$$10x=10$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=4$$