حل {l}{5x+6y=19}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 6 y = 19 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{37}{11} = 3\frac{4}{11} \approx 3.363636364$$

$$y=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+6y=19$$

اطرح 6y من طرفي المعادلة.

$$5x=-6y+19$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-6y+19\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -6y+19.

$$x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-6y+19}{5} في المعادلة الأخرى، x-y=3.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}-y=3$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع -y.

$$-\frac{11}{5}y+\frac{19}{5}=3$$

اطرح \frac{19}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{5}y=-\frac{4}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{4}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{11} في x=-\frac{6}{5}y+\frac{19}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{6}{5}\times \frac{4}{11}+\frac{19}{5}$$

اضرب -\frac{6}{5} في \frac{4}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{24}{55}+\frac{19}{5}$$

اجمع \frac{19}{5} مع -\frac{24}{55} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{37}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&-\frac{6}{5\left(-1\right)-6}\\-\frac{1}{5\left(-1\right)-6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 19+\frac{6}{11}\times 3\\\frac{1}{11}\times 19-\frac{5}{11}\times 3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{37}{11}\\\frac{4}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+6y=19,x-y=3$$

لجعل 5x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5x+6y=19,5x+5\left(-1\right)y=5\times 3$$

تبسيط.

$$5x+6y=19,5x-5y=15$$

اطرح 5x-5y=15 من 5x+6y=19 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+6y+5y=19-15$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y+5y=19-15$$

اجمع 6y مع 5y.

$$11y=19-15$$

اجمع 19 مع -15.

$$11y=4$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=\frac{4}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{4}{11} في x-y=3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-\frac{4}{11}=3$$

أضف \frac{4}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{37}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{37}{11},y=\frac{4}{11}$$