حل {l}{5x+5y=14}{2x+4y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 5 y = 14 } \\ { 2 x + 4 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{3}{5}=0.6$$

$$y = \frac{11}{5} = 2\frac{1}{5} = 2.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+5y=14$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$5x=-5y+14$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-5y+14\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -5y+14.

$$x=-y+\frac{14}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة -y+\frac{14}{5} في المعادلة الأخرى، 2x+4y=10.

$$2\left(-y+\frac{14}{5}\right)+4y=10$$

اضرب 2 في -y+\frac{14}{5}.

$$-2y+\frac{28}{5}+4y=10$$

اجمع -2y مع 4y.

$$2y+\frac{28}{5}=10$$

اطرح \frac{28}{5} من طرفي المعادلة.

$$2y=\frac{22}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$y=\frac{11}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{5} في x=-y+\frac{14}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{11}{5}+\frac{14}{5}$$

اضرب -1 في \frac{11}{5}.

$$x=\frac{-11+14}{5}$$

اجمع \frac{14}{5} مع -\frac{11}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{3}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&5\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-5\times 2}&-\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\\-\frac{2}{5\times 4-5\times 2}&\frac{5}{5\times 4-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{2}\\-\frac{1}{5}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 14-\frac{1}{2}\times 10\\-\frac{1}{5}\times 14+\frac{1}{2}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5}\\\frac{11}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+5y=14,2x+4y=10$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 5y=2\times 14,5\times 2x+5\times 4y=5\times 10$$

تبسيط.

$$10x+10y=28,10x+20y=50$$

اطرح 10x+20y=50 من 10x+10y=28 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+10y-20y=28-50$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y-20y=28-50$$

اجمع 10y مع -20y.

$$-10y=28-50$$

اجمع 28 مع -50.

$$-10y=-22$$

قسمة طرفي المعادلة على -10.

$$y=\frac{11}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{11}{5} في 2x+4y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+4\times \frac{11}{5}=10$$

اضرب 4 في \frac{11}{5}.

$$2x+\frac{44}{5}=10$$

اطرح \frac{44}{5} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{6}{5}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{3}{5}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{3}{5},y=\frac{11}{5}$$