حل {l}{5x+4y=9}{x+y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 4 y = 9 } \\ { x + y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+4y=9,x+y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+4y=9$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$5x=-4y+9$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-4y+9\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -4y+9.

$$x=-\frac{4}{5}y+\frac{9}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-4y+9}{5} في المعادلة الأخرى، x+y=2.

$$-\frac{4}{5}y+\frac{9}{5}+y=2$$

اجمع -\frac{4y}{5} مع y.

$$\frac{1}{5}y+\frac{9}{5}=2$$

اطرح \frac{9}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{5}y=\frac{1}{5}$$

ضرب طرفي المعادلة في 5.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{4}{5}y+\frac{9}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-4+9}{5}$$

اجمع \frac{9}{5} مع -\frac{4}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+4y=9,x+y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-4}&-\frac{4}{5-4}\\-\frac{1}{5-4}&\frac{5}{5-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&-4\\-1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9-4\times 2\\-9+5\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+4y=9,x+y=2$$

لجعل 5x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$5x+4y=9,5x+5y=5\times 2$$

تبسيط.

$$5x+4y=9,5x+5y=10$$

اطرح 5x+5y=10 من 5x+4y=9 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5x-5x+4y-5y=9-10$$

اجمع 5x مع -5x. حذف الحدين 5x و-5x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-5y=9-10$$

اجمع 4y مع -5y.

$$-y=9-10$$

اجمع 9 مع -10.

$$-y=-1$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x+y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+1=2$$

اطرح 1 من طرفي المعادلة.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$