حل {l}{5x+3y-4=34}{5y-3x-18=34}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y - 4 = 34 } \\ { 5 y - 3 x - 18 = 34 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=11$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y-4=34$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$5x+3y=38$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+38$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+38\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+38.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+38}{5} في المعادلة الأخرى، -3x+5y-18=34.

$$-3\left(-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}\right)+5y-18=34$$

اضرب -3 في \frac{-3y+38}{5}.

$$\frac{9}{5}y-\frac{114}{5}+5y-18=34$$

اجمع \frac{9y}{5} مع 5y.

$$\frac{34}{5}y-\frac{114}{5}-18=34$$

اجمع -\frac{114}{5} مع -18.

$$\frac{34}{5}y-\frac{204}{5}=34$$

أضف \frac{204}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{34}{5}y=\frac{374}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{34}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في x=-\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times 11+\frac{38}{5}$$

اضرب -\frac{3}{5} في 11.

$$x=\frac{-33+38}{5}$$

اجمع \frac{38}{5} مع -\frac{33}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=11$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-3&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}&-\frac{3}{5\times 5-3\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{5\times 5-3\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 5-3\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}&-\frac{3}{34}\\\frac{3}{34}&\frac{5}{34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\52\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{34}\times 38-\frac{3}{34}\times 52\\\frac{3}{34}\times 38+\frac{5}{34}\times 52\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=11$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y-4=34,-3x+5y-18=34$$

لجعل 5x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-3\times 5x-3\times 3y-3\left(-4\right)=-3\times 34,5\left(-3\right)x+5\times 5y+5\left(-18\right)=5\times 34$$

تبسيط.

$$-15x-9y+12=-102,-15x+25y-90=170$$

اطرح -15x+25y-90=170 من -15x-9y+12=-102 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-15x+15x-9y-25y+12+90=-102-170$$

اجمع -15x مع 15x. حذف الحدين -15x و15x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-25y+12+90=-102-170$$

اجمع -9y مع -25y.

$$-34y+12+90=-102-170$$

اجمع 12 مع 90.

$$-34y+102=-102-170$$

اجمع -102 مع -170.

$$-34y+102=-272$$

اطرح 102 من طرفي المعادلة.

$$-34y=-374$$

قسمة طرفي المعادلة على -34.

$$y=11$$

عوّض عن y بالقيمة 11 في -3x+5y-18=34. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x+5\times 11-18=34$$

اضرب 5 في 11.

$$-3x+55-18=34$$

اجمع 55 مع -18.

$$-3x+37=34$$

اطرح 37 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-3$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=11$$