حل {l}{5x+3y=97}{2x+12y=109}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 97 } \\ { 2 x + 12 y = 109 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{31}{2} = 15\frac{1}{2} = 15.5$$

$$y = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=97$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+97$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+97\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+97.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+97}{5} في المعادلة الأخرى، 2x+12y=109.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5}\right)+12y=109$$

اضرب 2 في \frac{-3y+97}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{194}{5}+12y=109$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع 12y.

$$\frac{54}{5}y+\frac{194}{5}=109$$

اطرح \frac{194}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{54}{5}y=\frac{351}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{54}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{13}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{2} في x=-\frac{3}{5}y+\frac{97}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{13}{2}+\frac{97}{5}$$

اضرب -\frac{3}{5} في \frac{13}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{39}{10}+\frac{97}{5}$$

اجمع \frac{97}{5} مع -\frac{39}{10} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{31}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5\times 12-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 12-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 12-3\times 2}&\frac{5}{5\times 12-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&-\frac{1}{18}\\-\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}97\\109\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 97-\frac{1}{18}\times 109\\-\frac{1}{27}\times 97+\frac{5}{54}\times 109\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{31}{2}\\\frac{13}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=97,2x+12y=109$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 97,5\times 2x+5\times 12y=5\times 109$$

تبسيط.

$$10x+6y=194,10x+60y=545$$

اطرح 10x+60y=545 من 10x+6y=194 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+6y-60y=194-545$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-60y=194-545$$

اجمع 6y مع -60y.

$$-54y=194-545$$

اجمع 194 مع -545.

$$-54y=-351$$

قسمة طرفي المعادلة على -54.

$$y=\frac{13}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{13}{2} في 2x+12y=109. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+12\times \frac{13}{2}=109$$

اضرب 12 في \frac{13}{2}.

$$2x+78=109$$

اطرح 78 من طرفي المعادلة.

$$2x=31$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{31}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{31}{2},y=\frac{13}{2}$$