حل {l}{5x+3y=7}{y=2x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 7 } \\ { y = 2 x + 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{4}{11}\approx 0.363636364$$

$$y = \frac{19}{11} = 1\frac{8}{11} \approx 1.727272727$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=7$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+7$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+7\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+7.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+7}{5} في المعادلة الأخرى، -2x+y=1.

$$-2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}\right)+y=1$$

اضرب -2 في \frac{-3y+7}{5}.

$$\frac{6}{5}y-\frac{14}{5}+y=1$$

اجمع \frac{6y}{5} مع y.

$$\frac{11}{5}y-\frac{14}{5}=1$$

أضف \frac{14}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{5}y=\frac{19}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{19}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{11} في x=-\frac{3}{5}y+\frac{7}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{19}{11}+\frac{7}{5}$$

اضرب -\frac{3}{5} في \frac{19}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{57}{55}+\frac{7}{5}$$

اجمع \frac{7}{5} مع -\frac{57}{55} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{5-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{5-3\left(-2\right)}&\frac{5}{5-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 7-\frac{3}{11}\\\frac{2}{11}\times 7+\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{11}\\\frac{19}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2x من الطرفين.

$$y-2x=1$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=7,-2x+y=1$$

لجعل 5x و-2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-2\times 5x-2\times 3y=-2\times 7,5\left(-2\right)x+5y=5$$

تبسيط.

$$-10x-6y=-14,-10x+5y=5$$

اطرح -10x+5y=5 من -10x-6y=-14 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-10x+10x-6y-5y=-14-5$$

اجمع -10x مع 10x. حذف الحدين -10x و10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y-5y=-14-5$$

اجمع -6y مع -5y.

$$-11y=-14-5$$

اجمع -14 مع -5.

$$-11y=-19$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=\frac{19}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{19}{11} في -2x+y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-2x+\frac{19}{11}=1$$

اطرح \frac{19}{11} من طرفي المعادلة.

$$-2x=-\frac{8}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$x=\frac{4}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{11},y=\frac{19}{11}$$