حل {l}{5x+3y=6}{2x+7y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 3 y = 6 } \\ { 2 x + 7 y = 9 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{15}{29}\approx 0.517241379$$

$$y = \frac{33}{29} = 1\frac{4}{29} \approx 1.137931034$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+3y=6$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$5x=-3y+6$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3y+6\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -3y+6.

$$x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-3y+6}{5} في المعادلة الأخرى، 2x+7y=9.

$$2\left(-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}\right)+7y=9$$

اضرب 2 في \frac{-3y+6}{5}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{12}{5}+7y=9$$

اجمع -\frac{6y}{5} مع 7y.

$$\frac{29}{5}y+\frac{12}{5}=9$$

اطرح \frac{12}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{29}{5}y=\frac{33}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{29}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{33}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{33}{29} في x=-\frac{3}{5}y+\frac{6}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{5}\times \frac{33}{29}+\frac{6}{5}$$

اضرب -\frac{3}{5} في \frac{33}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{99}{145}+\frac{6}{5}$$

اجمع \frac{6}{5} مع -\frac{99}{145} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&3\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-3\times 2}&-\frac{3}{5\times 7-3\times 2}\\-\frac{2}{5\times 7-3\times 2}&\frac{5}{5\times 7-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}&-\frac{3}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{29}\times 6-\frac{3}{29}\times 9\\-\frac{2}{29}\times 6+\frac{5}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{29}\\\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+3y=6,2x+7y=9$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 3y=2\times 6,5\times 2x+5\times 7y=5\times 9$$

تبسيط.

$$10x+6y=12,10x+35y=45$$

اطرح 10x+35y=45 من 10x+6y=12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+6y-35y=12-45$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6y-35y=12-45$$

اجمع 6y مع -35y.

$$-29y=12-45$$

اجمع 12 مع -45.

$$-29y=-33$$

قسمة طرفي المعادلة على -29.

$$y=\frac{33}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{33}{29} في 2x+7y=9. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+7\times \frac{33}{29}=9$$

اضرب 7 في \frac{33}{29}.

$$2x+\frac{231}{29}=9$$

اطرح \frac{231}{29} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{30}{29}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{15}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{15}{29},y=\frac{33}{29}$$