حل {l}{5x+2y=34}{7x-3y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 34 } \\ { 7 x - 3 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=4$$

$$y=7$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=34$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y+34$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+34\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y+34.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+34}{5} في المعادلة الأخرى، 7x-3y=7.

$$7\left(-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}\right)-3y=7$$

اضرب 7 في \frac{-2y+34}{5}.

$$-\frac{14}{5}y+\frac{238}{5}-3y=7$$

اجمع -\frac{14y}{5} مع -3y.

$$-\frac{29}{5}y+\frac{238}{5}=7$$

اطرح \frac{238}{5} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{29}{5}y=-\frac{203}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{29}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في x=-\frac{2}{5}y+\frac{34}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\times 7+\frac{34}{5}$$

اضرب -\frac{2}{5} في 7.

$$x=\frac{-14+34}{5}$$

اجمع \frac{34}{5} مع -\frac{14}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=7$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\7&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 7}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 7}\\-\frac{7}{5\left(-3\right)-2\times 7}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{2}{29}\\\frac{7}{29}&-\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\times 34+\frac{2}{29}\times 7\\\frac{7}{29}\times 34-\frac{5}{29}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=4,y=7$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=34,7x-3y=7$$

لجعل 5x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$7\times 5x+7\times 2y=7\times 34,5\times 7x+5\left(-3\right)y=5\times 7$$

تبسيط.

$$35x+14y=238,35x-15y=35$$

اطرح 35x-15y=35 من 35x+14y=238 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$35x-35x+14y+15y=238-35$$

اجمع 35x مع -35x. حذف الحدين 35x و-35x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y+15y=238-35$$

اجمع 14y مع 15y.

$$29y=238-35$$

اجمع 238 مع -35.

$$29y=203$$

قسمة طرفي المعادلة على 29.

$$y=7$$

عوّض عن y بالقيمة 7 في 7x-3y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x-3\times 7=7$$

اضرب -3 في 7.

$$7x-21=7$$

أضف 21 إلى طرفي المعادلة.

$$7x=28$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=4$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=4,y=7$$