حل {l}{5x+2y=3}{7y+12x=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 3 } \\ { 7 y + 12 x = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{17}{11} = 1\frac{6}{11} \approx 1.545454545$$

$$y = -\frac{26}{11} = -2\frac{4}{11} \approx -2.363636364$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=3$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y+3.

$$x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y+3}{5} في المعادلة الأخرى، 12x+7y=2.

$$12\left(-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}\right)+7y=2$$

اضرب 12 في \frac{-2y+3}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{36}{5}+7y=2$$

اجمع -\frac{24y}{5} مع 7y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=2$$

اطرح \frac{36}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{26}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{11}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{26}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{26}{11} في x=-\frac{2}{5}y+\frac{3}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{26}{11}\right)+\frac{3}{5}$$

اضرب -\frac{2}{5} في -\frac{26}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{52}{55}+\frac{3}{5}$$

اجمع \frac{3}{5} مع \frac{52}{55} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{17}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\12&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-2\times 12}&-\frac{2}{5\times 7-2\times 12}\\-\frac{12}{5\times 7-2\times 12}&\frac{5}{5\times 7-2\times 12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}&-\frac{2}{11}\\-\frac{12}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 2\\-\frac{12}{11}\times 3+\frac{5}{11}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{17}{11}\\-\frac{26}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=3,12x+7y=2$$

لجعل 5x و12x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 12 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$12\times 5x+12\times 2y=12\times 3,5\times 12x+5\times 7y=5\times 2$$

تبسيط.

$$60x+24y=36,60x+35y=10$$

اطرح 60x+35y=10 من 60x+24y=36 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$60x-60x+24y-35y=36-10$$

اجمع 60x مع -60x. حذف الحدين 60x و-60x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-35y=36-10$$

اجمع 24y مع -35y.

$$-11y=36-10$$

اجمع 36 مع -10.

$$-11y=26$$

قسمة طرفي المعادلة على -11.

$$y=-\frac{26}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{26}{11} في 12x+7y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$12x+7\left(-\frac{26}{11}\right)=2$$

اضرب 7 في -\frac{26}{11}.

$$12x-\frac{182}{11}=2$$

أضف \frac{182}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$12x=\frac{204}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 12.

$$x=\frac{17}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{17}{11},y=-\frac{26}{11}$$