حل {l}{5x+2y=10}{4x+y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 10 } \\ { 4 x + y = 8 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=10$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y+10.

$$x=-\frac{2}{5}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{5}+2 في المعادلة الأخرى، 4x+y=8.

$$4\left(-\frac{2}{5}y+2\right)+y=8$$

اضرب 4 في -\frac{2y}{5}+2.

$$-\frac{8}{5}y+8+y=8$$

اجمع -\frac{8y}{5} مع y.

$$-\frac{3}{5}y+8=8$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{3}{5}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{2}{5}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2\times 4}&-\frac{2}{5-2\times 4}\\-\frac{4}{5-2\times 4}&\frac{5}{5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\\frac{4}{3}&-\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\8\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 10+\frac{2}{3}\times 8\\\frac{4}{3}\times 10-\frac{5}{3}\times 8\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=10,4x+y=8$$

لجعل 5x و4x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 4 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$4\times 5x+4\times 2y=4\times 10,5\times 4x+5y=5\times 8$$

تبسيط.

$$20x+8y=40,20x+5y=40$$

اطرح 20x+5y=40 من 20x+8y=40 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+8y-5y=40-40$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$8y-5y=40-40$$

اجمع 8y مع -5y.

$$3y=40-40$$

اجمع 40 مع -40.

$$3y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في 4x+y=8. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x=8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$