حل {l}{5x+2y=0}{6x-1y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = 0 } \\ { 6 x - 1 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{4}{17}\approx 0.235294118$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=0$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)y$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y.

$$x=-\frac{2}{5}y$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{2y}{5} في المعادلة الأخرى، 6x-y=2.

$$6\left(-\frac{2}{5}\right)y-y=2$$

اضرب 6 في -\frac{2y}{5}.

$$-\frac{12}{5}y-y=2$$

اجمع -\frac{12y}{5} مع -y.

$$-\frac{17}{5}y=2$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{17}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{10}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{10}{17} في x=-\frac{2}{5}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-\frac{10}{17}\right)$$

اضرب -\frac{2}{5} في -\frac{10}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{4}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5\left(-1\right)-2\times 6}&-\frac{2}{5\left(-1\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{5\left(-1\right)-2\times 6}&\frac{5}{5\left(-1\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{17}&\frac{2}{17}\\\frac{6}{17}&-\frac{5}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 2\\-\frac{5}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=0,6x-y=2$$

لجعل 5x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$6\times 5x+6\times 2y=0,5\times 6x+5\left(-1\right)y=5\times 2$$

تبسيط.

$$30x+12y=0,30x-5y=10$$

اطرح 30x-5y=10 من 30x+12y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$30x-30x+12y+5y=-10$$

اجمع 30x مع -30x. حذف الحدين 30x و-30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$12y+5y=-10$$

اجمع 12y مع 5y.

$$17y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{10}{17} في 6x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x-\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

اطرح \frac{10}{17} من طرفي المعادلة.

$$6x=\frac{24}{17}$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{4}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{4}{17},y=-\frac{10}{17}$$