حل {l}{5x+2y=-16}{2x-3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 16 } \\ { 2 x - 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x+2y=-16$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$5x=-2y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2y-16\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -2y-16.

$$x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-2y-16}{5} في المعادلة الأخرى، 2x-3y=5.

$$2\left(-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}\right)-3y=5$$

اضرب 2 في \frac{-2y-16}{5}.

$$-\frac{4}{5}y-\frac{32}{5}-3y=5$$

اجمع -\frac{4y}{5} مع -3y.

$$-\frac{19}{5}y-\frac{32}{5}=5$$

أضف \frac{32}{5} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{19}{5}y=\frac{57}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{19}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=-\frac{2}{5}y-\frac{16}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{16}{5}$$

اضرب -\frac{2}{5} في -3.

$$x=\frac{6-16}{5}$$

اجمع -\frac{16}{5} مع \frac{6}{5} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&2\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-2\times 2}&-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}\\-\frac{2}{5\left(-3\right)-2\times 2}&\frac{5}{5\left(-3\right)-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}&\frac{2}{19}\\\frac{2}{19}&-\frac{5}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{19}\left(-16\right)+\frac{2}{19}\times 5\\\frac{2}{19}\left(-16\right)-\frac{5}{19}\times 5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x+2y=-16,2x-3y=5$$

لجعل 5x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$2\times 5x+2\times 2y=2\left(-16\right),5\times 2x+5\left(-3\right)y=5\times 5$$

تبسيط.

$$10x+4y=-32,10x-15y=25$$

اطرح 10x-15y=25 من 10x+4y=-32 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$10x-10x+4y+15y=-32-25$$

اجمع 10x مع -10x. حذف الحدين 10x و-10x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y+15y=-32-25$$

اجمع 4y مع 15y.

$$19y=-32-25$$

اجمع -32 مع -25.

$$19y=-57$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 2x-3y=5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-3\right)=5$$

اضرب -3 في -3.

$$2x+9=5$$

اطرح 9 من طرفي المعادلة.

$$2x=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=-3$$