حل {l}{5u+x=-10}{3u+3x=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 u + x = - 10 } \\ { 3 u + 3 x = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل u، x

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

$$u = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة u بعزل u على يسار علامة التساوي.

$$5u+x=-10$$

اطرح x من طرفي المعادلة.

$$5u=-x-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$u=\frac{1}{5}\left(-x-10\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -x-10.

$$u=-\frac{1}{5}x-2$$

عوّض عن u بالقيمة -\frac{x}{5}-2 في المعادلة الأخرى، 3u+3x=0.

$$3\left(-\frac{1}{5}x-2\right)+3x=0$$

اضرب 3 في -\frac{x}{5}-2.

$$-\frac{3}{5}x-6+3x=0$$

اجمع -\frac{3x}{5} مع 3x.

$$\frac{12}{5}x-6=0$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{12}{5}x=6$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{12}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$x=\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5}{2} في u=-\frac{1}{5}x-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$u=-\frac{1}{5}\times \frac{5}{2}-2$$

اضرب -\frac{1}{5} في \frac{5}{2} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$u=-\frac{1}{2}-2$$

اجمع -2 مع -\frac{1}{2}.

$$u=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-3}&-\frac{1}{5\times 3-3}\\-\frac{3}{5\times 3-3}&\frac{5}{5\times 3-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{12}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\left(-10\right)\\-\frac{1}{4}\left(-10\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}u\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{2}\\\frac{5}{2}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة u وx.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5u+x=-10,3u+3x=0$$

لجعل 5u و3u متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$3\times 5u+3x=3\left(-10\right),5\times 3u+5\times 3x=0$$

تبسيط.

$$15u+3x=-30,15u+15x=0$$

اطرح 15u+15x=0 من 15u+3x=-30 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$15u-15u+3x-15x=-30$$

اجمع 15u مع -15u. حذف الحدين 15u و-15u، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3x-15x=-30$$

اجمع 3x مع -15x.

$$-12x=-30$$

قسمة طرفي المعادلة على -12.

$$x=\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5}{2} في 3u+3x=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة u مباشرةً.

$$3u+3\times \frac{5}{2}=0$$

اضرب 3 في \frac{5}{2}.

$$3u+\frac{15}{2}=0$$

اطرح \frac{15}{2} من طرفي المعادلة.

$$3u=-\frac{15}{2}$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$u=-\frac{5}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$u=-\frac{5}{2},x=\frac{5}{2}$$