حل {l}{5k+b=3}{2k+b=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 k + b = 3 } \\ { 2 k + b = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل k، b

$$k = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$b = \frac{29}{3} = 9\frac{2}{3} \approx 9.666666667$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة k بعزل k على يسار علامة التساوي.

$$5k+b=3$$

اطرح b من طرفي المعادلة.

$$5k=-b+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$k=\frac{1}{5}\left(-b+3\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في -b+3.

$$k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}$$

عوّض عن k بالقيمة \frac{-b+3}{5} في المعادلة الأخرى، 2k+b=7.

$$2\left(-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}\right)+b=7$$

اضرب 2 في \frac{-b+3}{5}.

$$-\frac{2}{5}b+\frac{6}{5}+b=7$$

اجمع -\frac{2b}{5} مع b.

$$\frac{3}{5}b+\frac{6}{5}=7$$

اطرح \frac{6}{5} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{5}b=\frac{29}{5}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$b=\frac{29}{3}$$

عوّض عن b بالقيمة \frac{29}{3} في k=-\frac{1}{5}b+\frac{3}{5}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة k مباشرةً.

$$k=-\frac{1}{5}\times \frac{29}{3}+\frac{3}{5}$$

اضرب -\frac{1}{5} في \frac{29}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=-\frac{29}{15}+\frac{3}{5}$$

اجمع \frac{3}{5} مع -\frac{29}{15} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$k=-\frac{4}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 3-\frac{1}{3}\times 7\\-\frac{2}{3}\times 3+\frac{5}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}k\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{3}\\\frac{29}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة k وb.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5k+b=3,2k+b=7$$

اطرح 2k+b=7 من 5k+b=3 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$5k-2k+b-b=3-7$$

اجمع b مع -b. حذف الحدين b و-b، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$5k-2k=3-7$$

اجمع 5k مع -2k.

$$3k=3-7$$

اجمع 3 مع -7.

$$3k=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$k=-\frac{4}{3}$$

عوّض عن k بالقيمة -\frac{4}{3} في 2k+b=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة b مباشرةً.

$$2\left(-\frac{4}{3}\right)+b=7$$

اضرب 2 في -\frac{4}{3}.

$$-\frac{8}{3}+b=7$$

أضف \frac{8}{3} إلى طرفي المعادلة.

$$b=\frac{29}{3}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$k=-\frac{4}{3},b=\frac{29}{3}$$