حل {l}{5(x+2)=4y}{3(y-4)=6x}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 ( x + 2 ) = 4 y } \\ { 3 ( y - 4 ) = 6 x } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+2.

$$5x+10=4y$$

اطرح 4y من الطرفين.

$$5x+10-4y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x-4y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y-4.

$$3y-12=6x$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-12-6x=0$$

إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3y-6x=12$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$5x-4y=-10$$

أضف 4y إلى طرفي المعادلة.

$$5x=4y-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-10\right)$$

اضرب \frac{1}{5} في 4y-10.

$$x=\frac{4}{5}y-2$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{4y}{5}-2 في المعادلة الأخرى، -6x+3y=12.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-2\right)+3y=12$$

اضرب -6 في \frac{4y}{5}-2.

$$-\frac{24}{5}y+12+3y=12$$

اجمع -\frac{24y}{5} مع 3y.

$$-\frac{9}{5}y+12=12$$

اطرح 12 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{5}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=\frac{4}{5}y-2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+2.

$$5x+10=4y$$

اطرح 4y من الطرفين.

$$5x+10-4y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x-4y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y-4.

$$3y-12=6x$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-12-6x=0$$

إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3y-6x=12$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-\frac{4}{9}\\-\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\12\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-10\right)-\frac{4}{9}\times 12\\-\frac{2}{3}\left(-10\right)-\frac{5}{9}\times 12\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-2,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الأولى. استخدم خاصية التوزيع لضرب 5 في x+2.

$$5x+10=4y$$

اطرح 4y من الطرفين.

$$5x+10-4y=0$$

اطرح 10 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$5x-4y=-10$$

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. استخدم خاصية التوزيع لضرب 3 في y-4.

$$3y-12=6x$$

اطرح 6x من الطرفين.

$$3y-12-6x=0$$

إضافة 12 لكلا الجانبين. حاصل جمع أي عدد مع صفر يكون العدد نفسه.

$$3y-6x=12$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$5x-4y=-10,-6x+3y=12$$

لجعل 5x و-6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-10\right),5\left(-6\right)x+5\times 3y=5\times 12$$

تبسيط.

$$-30x+24y=60,-30x+15y=60$$

اطرح -30x+15y=60 من -30x+24y=60 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-30x+30x+24y-15y=60-60$$

اجمع -30x مع 30x. حذف الحدين -30x و30x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$24y-15y=60-60$$

اجمع 24y مع -15y.

$$9y=60-60$$

اجمع 60 مع -60.

$$9y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 9.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في -6x+3y=12. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-6x=12$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=-2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-2,y=0$$