حل {l}{41x+53y=135}{53x+41y=147}

$$\left. \begin{array} { l } { 41 x + 53 y = 135 } \\ { 53 x + 41 y = 147 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$41x+53y=135$$

اطرح 53y من طرفي المعادلة.

$$41x=-53y+135$$

قسمة طرفي المعادلة على 41.

$$x=\frac{1}{41}\left(-53y+135\right)$$

اضرب \frac{1}{41} في -53y+135.

$$x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-53y+135}{41} في المعادلة الأخرى، 53x+41y=147.

$$53\left(-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}\right)+41y=147$$

اضرب 53 في \frac{-53y+135}{41}.

$$-\frac{2809}{41}y+\frac{7155}{41}+41y=147$$

اجمع -\frac{2809y}{41} مع 41y.

$$-\frac{1128}{41}y+\frac{7155}{41}=147$$

اطرح \frac{7155}{41} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{1128}{41}y=-\frac{1128}{41}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{1128}{41}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=-\frac{53}{41}y+\frac{135}{41}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{-53+135}{41}$$

اجمع \frac{135}{41} مع -\frac{53}{41} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}41&53\\53&41\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{41}{41\times 41-53\times 53}&-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}\\-\frac{53}{41\times 41-53\times 53}&\frac{41}{41\times 41-53\times 53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}&\frac{53}{1128}\\\frac{53}{1128}&-\frac{41}{1128}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}135\\147\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{41}{1128}\times 135+\frac{53}{1128}\times 147\\\frac{53}{1128}\times 135-\frac{41}{1128}\times 147\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$41x+53y=135,53x+41y=147$$

لجعل 41x و53x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 53 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 41.

$$53\times 41x+53\times 53y=53\times 135,41\times 53x+41\times 41y=41\times 147$$

تبسيط.

$$2173x+2809y=7155,2173x+1681y=6027$$

اطرح 2173x+1681y=6027 من 2173x+2809y=7155 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2173x-2173x+2809y-1681y=7155-6027$$

اجمع 2173x مع -2173x. حذف الحدين 2173x و-2173x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2809y-1681y=7155-6027$$

اجمع 2809y مع -1681y.

$$1128y=7155-6027$$

اجمع 7155 مع -6027.

$$1128y=1128$$

قسمة طرفي المعادلة على 1128.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 53x+41y=147. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$53x+41=147$$

اطرح 41 من طرفي المعادلة.

$$53x=106$$

قسمة طرفي المعادلة على 53.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=1$$