حل {l}{40x+4y=80}{8x-15y=-1}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 4 y = 80 } \\ { 8 x - 15 y = - 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{299}{158} = 1\frac{141}{158} \approx 1.892405063$$

$$y = \frac{85}{79} = 1\frac{6}{79} \approx 1.075949367$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$40x+4y=80$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$40x=-4y+80$$

قسمة طرفي المعادلة على 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-4y+80\right)$$

اضرب \frac{1}{40} في -4y+80.

$$x=-\frac{1}{10}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{10}+2 في المعادلة الأخرى، 8x-15y=-1.

$$8\left(-\frac{1}{10}y+2\right)-15y=-1$$

اضرب 8 في -\frac{y}{10}+2.

$$-\frac{4}{5}y+16-15y=-1$$

اجمع -\frac{4y}{5} مع -15y.

$$-\frac{79}{5}y+16=-1$$

اطرح 16 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{79}{5}y=-17$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{79}{5}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{85}{79}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{85}{79} في x=-\frac{1}{10}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{10}\times \frac{85}{79}+2$$

اضرب -\frac{1}{10} في \frac{85}{79} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{17}{158}+2$$

اجمع 2 مع -\frac{17}{158}.

$$x=\frac{299}{158}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&4\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{40\left(-15\right)-4\times 8}&-\frac{4}{40\left(-15\right)-4\times 8}\\-\frac{8}{40\left(-15\right)-4\times 8}&\frac{40}{40\left(-15\right)-4\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}&\frac{1}{158}\\\frac{1}{79}&-\frac{5}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\-1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{632}\times 80+\frac{1}{158}\left(-1\right)\\\frac{1}{79}\times 80-\frac{5}{79}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{299}{158}\\\frac{85}{79}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$40x+4y=80,8x-15y=-1$$

لجعل 40x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 40.

$$8\times 40x+8\times 4y=8\times 80,40\times 8x+40\left(-15\right)y=40\left(-1\right)$$

تبسيط.

$$320x+32y=640,320x-600y=-40$$

اطرح 320x-600y=-40 من 320x+32y=640 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$320x-320x+32y+600y=640+40$$

اجمع 320x مع -320x. حذف الحدين 320x و-320x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$32y+600y=640+40$$

اجمع 32y مع 600y.

$$632y=640+40$$

اجمع 640 مع 40.

$$632y=680$$

قسمة طرفي المعادلة على 632.

$$y=\frac{85}{79}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{85}{79} في 8x-15y=-1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x-15\times \frac{85}{79}=-1$$

اضرب -15 في \frac{85}{79}.

$$8x-\frac{1275}{79}=-1$$

أضف \frac{1275}{79} إلى طرفي المعادلة.

$$8x=\frac{1196}{79}$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=\frac{299}{158}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{299}{158},y=\frac{85}{79}$$