حل {l}{40x+30y=500}{60x+15y=60}

$$\left. \begin{array} { l } { 40 x + 30 y = 500 } \\ { 60 x + 15 y = 60 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = -\frac{19}{4} = -4\frac{3}{4} = -4.75$$

$$y=23$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$40x+30y=500$$

اطرح 30y من طرفي المعادلة.

$$40x=-30y+500$$

قسمة طرفي المعادلة على 40.

$$x=\frac{1}{40}\left(-30y+500\right)$$

اضرب \frac{1}{40} في -30y+500.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2} في المعادلة الأخرى، 60x+15y=60.

$$60\left(-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}\right)+15y=60$$

اضرب 60 في -\frac{3y}{4}+\frac{25}{2}.

$$-45y+750+15y=60$$

اجمع -45y مع 15y.

$$-30y+750=60$$

اطرح 750 من طرفي المعادلة.

$$-30y=-690$$

قسمة طرفي المعادلة على -30.

$$y=23$$

عوّض عن y بالقيمة 23 في x=-\frac{3}{4}y+\frac{25}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\times 23+\frac{25}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في 23.

$$x=-\frac{69}{4}+\frac{25}{2}$$

اجمع \frac{25}{2} مع -\frac{69}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{19}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}40&30\\60&15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{40\times 15-30\times 60}&-\frac{30}{40\times 15-30\times 60}\\-\frac{60}{40\times 15-30\times 60}&\frac{40}{40\times 15-30\times 60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{40}\\\frac{1}{20}&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}500\\60\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 500+\frac{1}{40}\times 60\\\frac{1}{20}\times 500-\frac{1}{30}\times 60\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{19}{4}\\23\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$40x+30y=500,60x+15y=60$$

لجعل 40x و60x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 60 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 40.

$$60\times 40x+60\times 30y=60\times 500,40\times 60x+40\times 15y=40\times 60$$

تبسيط.

$$2400x+1800y=30000,2400x+600y=2400$$

اطرح 2400x+600y=2400 من 2400x+1800y=30000 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$2400x-2400x+1800y-600y=30000-2400$$

اجمع 2400x مع -2400x. حذف الحدين 2400x و-2400x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$1800y-600y=30000-2400$$

اجمع 1800y مع -600y.

$$1200y=30000-2400$$

اجمع 30000 مع -2400.

$$1200y=27600$$

قسمة طرفي المعادلة على 1200.

$$y=23$$

عوّض عن y بالقيمة 23 في 60x+15y=60. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$60x+15\times 23=60$$

اضرب 15 في 23.

$$60x+345=60$$

اطرح 345 من طرفي المعادلة.

$$60x=-285$$

قسمة طرفي المعادلة على 60.

$$x=-\frac{19}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{19}{4},y=23$$