حل {l}{4y-5x=-70}{x=-4y-34}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 5 x = - 70 } \\ { x = - 4 y - 34 } \end{array} \right.$$

حل مسائل y، x

$$x=6$$

$$y=-10$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4y لكلا الجانبين.

$$x+4y=-34$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$4y-5x=-70$$

أضف 5x إلى طرفي المعادلة.

$$4y=5x-70$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(5x-70\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -70+5x.

$$y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4} في المعادلة الأخرى، 4y+x=-34.

$$4\left(\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}\right)+x=-34$$

اضرب 4 في -\frac{35}{2}+\frac{5x}{4}.

$$5x-70+x=-34$$

اجمع 5x مع x.

$$6x-70=-34$$

أضف 70 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=36$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=6$$

عوّض عن x بالقيمة 6 في y=\frac{5}{4}x-\frac{35}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=\frac{5}{4}\times 6-\frac{35}{2}$$

اضرب \frac{5}{4} في 6.

$$y=\frac{15-35}{2}$$

اجمع -\frac{35}{2} مع \frac{15}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$y=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-10,x=6$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4y لكلا الجانبين.

$$x+4y=-34$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{4-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}&\frac{4}{4-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}&\frac{5}{24}\\-\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-70\\-34\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{24}\left(-70\right)+\frac{5}{24}\left(-34\right)\\-\frac{1}{6}\left(-70\right)+\frac{1}{6}\left(-34\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\6\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=-10,x=6$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة 4y لكلا الجانبين.

$$x+4y=-34$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4y-5x=-70,4y+x=-34$$

اطرح 4y+x=-34 من 4y-5x=-70 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4y-4y-5x-x=-70+34$$

اجمع 4y مع -4y. حذف الحدين 4y و-4y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5x-x=-70+34$$

اجمع -5x مع -x.

$$-6x=-70+34$$

اجمع -70 مع 34.

$$-6x=-36$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=6$$

عوّض عن x بالقيمة 6 في 4y+x=-34. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$4y+6=-34$$

اطرح 6 من طرفي المعادلة.

$$4y=-40$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=-10$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=-10,x=6$$