حل {l}{4y-3x=8}{ax+4=2y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 y - 3 x = 8 } \\ { a x + 4 = 2 y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$4y-3x=8$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$4y=3x+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x}{4}+2 في المعادلة الأخرى، -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

اضرب -2 في \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

اجمع -\frac{3x}{2} مع ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في y=\frac{3}{4}x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=2,x=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=2,x=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

لجعل 4y و-2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

اطرح -8y+4ax=-16 من -8y+6x=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

اجمع -8y مع 8y. حذف الحدين -8y و8y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

اجمع 6x مع -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

اجمع -16 مع 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 6-4a.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في -2y+ax=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=2,x=0$$

حل مسائل x، y

$$\left\{\begin{matrix}\\x=0\text{, }y=2\text{, }&\text{unconditionally}\\x=\frac{4\left(y-2\right)}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&a=\frac{3}{2}\end{matrix}\right.$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة y بعزل y على يسار علامة التساوي.

$$4y-3x=8$$

أضف 3x إلى طرفي المعادلة.

$$4y=3x+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(3x+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 3x+8.

$$y=\frac{3}{4}x+2$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{3x}{4}+2 في المعادلة الأخرى، -2y+ax=-4.

$$-2\left(\frac{3}{4}x+2\right)+ax=-4$$

اضرب -2 في \frac{3x}{4}+2.

$$-\frac{3}{2}x-4+ax=-4$$

اجمع -\frac{3x}{2} مع ax.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x-4=-4$$

أضف 4 إلى طرفي المعادلة.

$$\left(a-\frac{3}{2}\right)x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على -\frac{3}{2}+a.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في y=\frac{3}{4}x+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=2,x=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\-2&a\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{4}{4a-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}&\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\\\frac{1}{2a-3}&\frac{2}{2a-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{a}{2\left(2a-3\right)}\times 8+\frac{3}{2\left(2a-3\right)}\left(-4\right)\\\frac{1}{2a-3}\times 8+\frac{2}{2a-3}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة y وx.

$$y=2,x=0$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. اطرح 2y من الطرفين.

$$ax+4-2y=0$$

اطرح 4 من الطرفين. حاصل طرح أي عدد من الصفر يكون القيمة السالبة للعدد نفسه.

$$ax-2y=-4$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4y-3x=8,-2y+ax=-4$$

لجعل 4y و-2y متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-2\times 4y-2\left(-3\right)x=-2\times 8,4\left(-2\right)y+4ax=4\left(-4\right)$$

تبسيط.

$$-8y+6x=-16,-8y+4ax=-16$$

اطرح -8y+4ax=-16 من -8y+6x=-16 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-8y+8y+6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

اجمع -8y مع 8y. حذف الحدين -8y و8y، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$6x+\left(-4a\right)x=-16+16$$

اجمع 6x مع -4ax.

$$\left(6-4a\right)x=-16+16$$

اجمع -16 مع 16.

$$\left(6-4a\right)x=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 6-4a.

$$x=0$$

عوّض عن x بالقيمة 0 في -2y+ax=-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة y مباشرةً.

$$-2y=-4$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$y=2,x=0$$