حل {l}{4x-y=1}{2x+y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - y = 1 } \\ { 2 x + y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-y=1$$

أضف y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في y+1.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{1+y}{4} في المعادلة الأخرى، 2x+y=4.

$$2\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=4$$

اضرب 2 في \frac{1+y}{4}.

$$\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}+y=4$$

اجمع \frac{y}{2} مع y.

$$\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=4$$

اطرح \frac{1}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=\frac{7}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{3} في x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{7}{3}+\frac{1}{4}$$

اضرب \frac{1}{4} في \frac{7}{3} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{7}{12}+\frac{1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{7}{12} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-2\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-2\right)}\\-\frac{2}{4-\left(-2\right)}&\frac{4}{4-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}&\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\times 4\\-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-y=1,2x+y=4$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2\left(-1\right)y=2,4\times 2x+4y=4\times 4$$

تبسيط.

$$8x-2y=2,8x+4y=16$$

اطرح 8x+4y=16 من 8x-2y=2 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x-2y-4y=2-16$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-2y-4y=2-16$$

اجمع -2y مع -4y.

$$-6y=2-16$$

اجمع 2 مع -16.

$$-6y=-14$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=\frac{7}{3}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{7}{3} في 2x+y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+\frac{7}{3}=4$$

اطرح \frac{7}{3} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{5}{3}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{5}{6}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{5}{6},y=\frac{7}{3}$$