حل {l}{4x-7y=23}{6x+2y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 7 y = 23 } \\ { 6 x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-7y=23$$

أضف 7y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=7y+23$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(7y+23\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 7y+23.

$$x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{7y+23}{4} في المعادلة الأخرى، 6x+2y=-3.

$$6\left(\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}\right)+2y=-3$$

اضرب 6 في \frac{7y+23}{4}.

$$\frac{21}{2}y+\frac{69}{2}+2y=-3$$

اجمع \frac{21y}{2} مع 2y.

$$\frac{25}{2}y+\frac{69}{2}=-3$$

اطرح \frac{69}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{25}{2}y=-\frac{75}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{7}{4}y+\frac{23}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{7}{4}\left(-3\right)+\frac{23}{4}$$

اضرب \frac{7}{4} في -3.

$$x=\frac{-21+23}{4}$$

اجمع \frac{23}{4} مع -\frac{21}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-7\\6&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&-\frac{-7}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\\-\frac{6}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-7\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}&\frac{7}{50}\\-\frac{3}{25}&\frac{2}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}23\\-3\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{25}\times 23+\frac{7}{50}\left(-3\right)\\-\frac{3}{25}\times 23+\frac{2}{25}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-7y=23,6x+2y=-3$$

لجعل 4x و6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$6\times 4x+6\left(-7\right)y=6\times 23,4\times 6x+4\times 2y=4\left(-3\right)$$

تبسيط.

$$24x-42y=138,24x+8y=-12$$

اطرح 24x+8y=-12 من 24x-42y=138 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$24x-24x-42y-8y=138+12$$

اجمع 24x مع -24x. حذف الحدين 24x و-24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-42y-8y=138+12$$

اجمع -42y مع -8y.

$$-50y=138+12$$

اجمع 138 مع 12.

$$-50y=150$$

قسمة طرفي المعادلة على -50.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في 6x+2y=-3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$6x+2\left(-3\right)=-3$$

اضرب 2 في -3.

$$6x-6=-3$$

أضف 6 إلى طرفي المعادلة.

$$6x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{1}{2},y=-3$$