حل {l}{4x-5y=18}{3x-2y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 5 y = 18 } \\ { 3 x - 2 y = 10 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-5y=18$$

أضف 5y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=5y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(5y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 5y+18.

$$x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{5y}{4}+\frac{9}{2} في المعادلة الأخرى، 3x-2y=10.

$$3\left(\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}\right)-2y=10$$

اضرب 3 في \frac{5y}{4}+\frac{9}{2}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{27}{2}-2y=10$$

اجمع \frac{15y}{4} مع -2y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{27}{2}=10$$

اطرح \frac{27}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{7}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{5}{4}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{5}{4}\left(-2\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب \frac{5}{4} في -2.

$$x=\frac{-5+9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع -\frac{5}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-5\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&-\frac{-5}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}&\frac{4}{4\left(-2\right)-\left(-5\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}&\frac{5}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\10\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7}\times 18+\frac{5}{7}\times 10\\-\frac{3}{7}\times 18+\frac{4}{7}\times 10\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-5y=18,3x-2y=10$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\left(-5\right)y=3\times 18,4\times 3x+4\left(-2\right)y=4\times 10$$

تبسيط.

$$12x-15y=54,12x-8y=40$$

اطرح 12x-8y=40 من 12x-15y=54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-15y+8y=54-40$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y+8y=54-40$$

اجمع -15y مع 8y.

$$-7y=54-40$$

اجمع 54 مع -40.

$$-7y=14$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 3x-2y=10. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x-2\left(-2\right)=10$$

اضرب -2 في -2.

$$3x+4=10$$

اطرح 4 من طرفي المعادلة.

$$3x=6$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-2$$