حل {l}{4x-3y-10=0}{3x+4y+5=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y - 10 = 0 } \\ { 3 x + 4 y + 5 = 0 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=-2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-3y-10=0$$

أضف 10 إلى طرفي المعادلة.

$$4x-3y=10$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=3y+10$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+10\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 3y+10.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y}{4}+\frac{5}{2} في المعادلة الأخرى، 3x+4y+5=0.

$$3\left(\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}\right)+4y+5=0$$

اضرب 3 في \frac{3y}{4}+\frac{5}{2}.

$$\frac{9}{4}y+\frac{15}{2}+4y+5=0$$

اجمع \frac{9y}{4} مع 4y.

$$\frac{25}{4}y+\frac{15}{2}+5=0$$

اجمع \frac{15}{2} مع 5.

$$\frac{25}{4}y+\frac{25}{2}=0$$

اطرح \frac{25}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{25}{4}y=-\frac{25}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{25}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في x=\frac{3}{4}y+\frac{5}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\left(-2\right)+\frac{5}{2}$$

اضرب \frac{3}{4} في -2.

$$x=\frac{-3+5}{2}$$

اجمع \frac{5}{2} مع -\frac{3}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\3&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}&\frac{4}{4\times 4-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}&\frac{3}{25}\\-\frac{3}{25}&\frac{4}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{25}\times 10+\frac{3}{25}\left(-5\right)\\-\frac{3}{25}\times 10+\frac{4}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=-2$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-3y-10=0,3x+4y+5=0$$

لجعل 4x و3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$3\times 4x+3\left(-3\right)y+3\left(-10\right)=0,4\times 3x+4\times 4y+4\times 5=0$$

تبسيط.

$$12x-9y-30=0,12x+16y+20=0$$

اطرح 12x+16y+20=0 من 12x-9y-30=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$12x-12x-9y-16y-30-20=0$$

اجمع 12x مع -12x. حذف الحدين 12x و-12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-9y-16y-30-20=0$$

اجمع -9y مع -16y.

$$-25y-30-20=0$$

اجمع -30 مع -20.

$$-25y-50=0$$

أضف 50 إلى طرفي المعادلة.

$$-25y=50$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$y=-2$$

عوّض عن y بالقيمة -2 في 3x+4y+5=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$3x+4\left(-2\right)+5=0$$

اضرب 4 في -2.

$$3x-8+5=0$$

اجمع -8 مع 5.

$$3x-3=0$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$3x=3$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=-2$$