حل {l}{4x-3y=21}{x=-y}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 21 } \\ { x = - y } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=-3$$

خطوات استخدام التعويض

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=0$$

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-3y=21$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=3y+21$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+21\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 21+3y.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{21+3y}{4} في المعادلة الأخرى، x+y=0.

$$\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}+y=0$$

اجمع \frac{3y}{4} مع y.

$$\frac{7}{4}y+\frac{21}{4}=0$$

اطرح \frac{21}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{7}{4}y=-\frac{21}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{7}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x=\frac{3}{4}y+\frac{21}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3}{4}\left(-3\right)+\frac{21}{4}$$

اضرب \frac{3}{4} في -3.

$$x=\frac{-9+21}{4}$$

اجمع \frac{21}{4} مع -\frac{9}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-3$$

خطوات استخدام المصفوفات

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=0$$

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-3}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{1}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\-\frac{1}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-3\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=-3$$

خطوات استخدام الحذف

خذ بعين الاعتبار المعادلة الثانية. إضافة y لكلا الجانبين.

$$x+y=0$$

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-3y=21,x+y=0$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x-3y=21,4x+4y=0$$

اطرح 4x+4y=0 من 4x-3y=21 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x-3y-4y=21$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y-4y=21$$

اجمع -3y مع -4y.

$$-7y=21$$

قسمة طرفي المعادلة على -7.

$$y=-3$$

عوّض عن y بالقيمة -3 في x+y=0. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x-3=0$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=-3$$