حل {l}{4x-3y=1}{5x+2y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x - 3 y = 1 } \\ { 5 x + 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=1$$

$$y=1$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x-3y=1$$

أضف 3y إلى طرفي المعادلة.

$$4x=3y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(3y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في 3y+1.

$$x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{3y+1}{4} في المعادلة الأخرى، 5x+2y=7.

$$5\left(\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}\right)+2y=7$$

اضرب 5 في \frac{3y+1}{4}.

$$\frac{15}{4}y+\frac{5}{4}+2y=7$$

اجمع \frac{15y}{4} مع 2y.

$$\frac{23}{4}y+\frac{5}{4}=7$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{23}{4}y=\frac{23}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{23}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في x=\frac{3}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=\frac{3+1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع \frac{3}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-3\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}&\frac{4}{4\times 2-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}&\frac{3}{23}\\-\frac{5}{23}&\frac{4}{23}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{23}+\frac{3}{23}\times 7\\-\frac{5}{23}+\frac{4}{23}\times 7\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=1,y=1$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x-3y=1,5x+2y=7$$

لجعل 4x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$5\times 4x+5\left(-3\right)y=5,4\times 5x+4\times 2y=4\times 7$$

تبسيط.

$$20x-15y=5,20x+8y=28$$

اطرح 20x+8y=28 من 20x-15y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x-15y-8y=5-28$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-15y-8y=5-28$$

اجمع -15y مع -8y.

$$-23y=5-28$$

اجمع 5 مع -28.

$$-23y=-23$$

قسمة طرفي المعادلة على -23.

$$y=1$$

عوّض عن y بالقيمة 1 في 5x+2y=7. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+2=7$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$5x=5$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=1$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=1,y=1$$