حل {l}{4x+y=8}{x-y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 8 } \\ { x - y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=0$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=8,x-y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=8$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+8.

$$x=-\frac{1}{4}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+2 في المعادلة الأخرى، x-y=2.

$$-\frac{1}{4}y+2-y=2$$

اجمع -\frac{y}{4} مع -y.

$$-\frac{5}{4}y+2=2$$

اطرح 2 من طرفي المعادلة.

$$-\frac{5}{4}y=0$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{5}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x=-\frac{1}{4}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=8,x-y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}\\-\frac{1}{4\left(-1\right)-1}&\frac{4}{4\left(-1\right)-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{1}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{4}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 2\\\frac{1}{5}\times 8-\frac{4}{5}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\0\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=0$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=8,x-y=2$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+y=8,4x+4\left(-1\right)y=4\times 2$$

تبسيط.

$$4x+y=8,4x-4y=8$$

اطرح 4x-4y=8 من 4x+y=8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+y+4y=8-8$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$y+4y=8-8$$

اجمع y مع 4y.

$$5y=8-8$$

اجمع 8 مع -8.

$$5y=0$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$y=0$$

عوّض عن y بالقيمة 0 في x-y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=0$$