حل {l}{4x+y=4}{-3x-6y=18}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 4 } \\ { - 3 x - 6 y = 18 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=2$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=4$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+4$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+4\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+4.

$$x=-\frac{1}{4}y+1$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+1 في المعادلة الأخرى، -3x-6y=18.

$$-3\left(-\frac{1}{4}y+1\right)-6y=18$$

اضرب -3 في -\frac{y}{4}+1.

$$\frac{3}{4}y-3-6y=18$$

اجمع \frac{3y}{4} مع -6y.

$$-\frac{21}{4}y-3=18$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{21}{4}y=21$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{21}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=-\frac{1}{4}y+1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-4\right)+1$$

اضرب -\frac{1}{4} في -4.

$$x=1+1$$

اجمع 1 مع 1.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&-\frac{1}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{21}\\-\frac{1}{7}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\18\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{21}\times 18\\-\frac{1}{7}\times 4-\frac{4}{21}\times 18\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=2,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=4,-3x-6y=18$$

لجعل 4x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-3\times 4x-3y=-3\times 4,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 18$$

تبسيط.

$$-12x-3y=-12,-12x-24y=72$$

اطرح -12x-24y=72 من -12x-3y=-12 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x-3y+24y=-12-72$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-3y+24y=-12-72$$

اجمع -3y مع 24y.

$$21y=-12-72$$

اجمع -12 مع -72.

$$21y=-84$$

قسمة طرفي المعادلة على 21.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -3x-6y=18. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-6\left(-4\right)=18$$

اضرب -6 في -4.

$$-3x+24=18$$

اطرح 24 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=2$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=2,y=-4$$