حل {l}{4x+y=17}{-6x-y=-23}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 17 } \\ { - 6 x - y = - 23 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=3$$

$$y=5$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=17,-6x-y=-23$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=17$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+17$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+17\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+17.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{17}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+17}{4} في المعادلة الأخرى، -6x-y=-23.

$$-6\left(-\frac{1}{4}y+\frac{17}{4}\right)-y=-23$$

اضرب -6 في \frac{-y+17}{4}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{51}{2}-y=-23$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -y.

$$\frac{1}{2}y-\frac{51}{2}=-23$$

أضف \frac{51}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

ضرب طرفي المعادلة في 2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في x=-\frac{1}{4}y+\frac{17}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times 5+\frac{17}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في 5.

$$x=\frac{-5+17}{4}$$

اجمع \frac{17}{4} مع -\frac{5}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=5$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=17,-6x-y=-23$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\-6&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-6\right)}&-\frac{1}{4\left(-1\right)-\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{4\left(-1\right)-\left(-6\right)}&\frac{4}{4\left(-1\right)-\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\-23\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 17-\frac{1}{2}\left(-23\right)\\3\times 17+2\left(-23\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=3,y=5$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=17,-6x-y=-23$$

لجعل 4x و-6x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -6 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-6\times 4x-6y=-6\times 17,4\left(-6\right)x+4\left(-1\right)y=4\left(-23\right)$$

تبسيط.

$$-24x-6y=-102,-24x-4y=-92$$

اطرح -24x-4y=-92 من -24x-6y=-102 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-24x+24x-6y+4y=-102+92$$

اجمع -24x مع 24x. حذف الحدين -24x و24x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+4y=-102+92$$

اجمع -6y مع 4y.

$$-2y=-102+92$$

اجمع -102 مع 92.

$$-2y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على -2.

$$y=5$$

عوّض عن y بالقيمة 5 في -6x-y=-23. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-6x-5=-23$$

أضف 5 إلى طرفي المعادلة.

$$-6x=-18$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$x=3$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=3,y=5$$