حل {l}{4x+y=15}{5y+19x=30}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 15 } \\ { 5 y + 19 x = 30 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=45$$

$$y=-165$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=15$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+15$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+15\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+15.

$$x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+15}{4} في المعادلة الأخرى، 19x+5y=30.

$$19\left(-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}\right)+5y=30$$

اضرب 19 في \frac{-y+15}{4}.

$$-\frac{19}{4}y+\frac{285}{4}+5y=30$$

اجمع -\frac{19y}{4} مع 5y.

$$\frac{1}{4}y+\frac{285}{4}=30$$

اطرح \frac{285}{4} من طرفي المعادلة.

$$\frac{1}{4}y=-\frac{165}{4}$$

ضرب طرفي المعادلة في 4.

$$y=-165$$

عوّض عن y بالقيمة -165 في x=-\frac{1}{4}y+\frac{15}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\left(-165\right)+\frac{15}{4}$$

اضرب -\frac{1}{4} في -165.

$$x=\frac{165+15}{4}$$

اجمع \frac{15}{4} مع \frac{165}{4} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=45,y=-165$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\19&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-19}&-\frac{1}{4\times 5-19}\\-\frac{19}{4\times 5-19}&\frac{4}{4\times 5-19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&-1\\-19&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\30\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 15-30\\-19\times 15+4\times 30\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}45\\-165\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=45,y=-165$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=15,19x+5y=30$$

لجعل 4x و19x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 19 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$19\times 4x+19y=19\times 15,4\times 19x+4\times 5y=4\times 30$$

تبسيط.

$$76x+19y=285,76x+20y=120$$

اطرح 76x+20y=120 من 76x+19y=285 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$76x-76x+19y-20y=285-120$$

اجمع 76x مع -76x. حذف الحدين 76x و-76x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$19y-20y=285-120$$

اجمع 19y مع -20y.

$$-y=285-120$$

اجمع 285 مع -120.

$$-y=165$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$y=-165$$

عوّض عن y بالقيمة -165 في 19x+5y=30. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$19x+5\left(-165\right)=30$$

اضرب 5 في -165.

$$19x-825=30$$

أضف 825 إلى طرفي المعادلة.

$$19x=855$$

قسمة طرفي المعادلة على 19.

$$x=45$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=45,y=-165$$