حل {l}{4x+y=100}{2x+2y=56}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + y = 100 } \\ { 2 x + 2 y = 56 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=24$$

$$y=4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+y=100$$

اطرح y من طرفي المعادلة.

$$4x=-y+100$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-y+100\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -y+100.

$$x=-\frac{1}{4}y+25$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{4}+25 في المعادلة الأخرى، 2x+2y=56.

$$2\left(-\frac{1}{4}y+25\right)+2y=56$$

اضرب 2 في -\frac{y}{4}+25.

$$-\frac{1}{2}y+50+2y=56$$

اجمع -\frac{y}{2} مع 2y.

$$\frac{3}{2}y+50=56$$

اطرح 50 من طرفي المعادلة.

$$\frac{3}{2}y=6$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{3}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في x=-\frac{1}{4}y+25. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{4}\times 4+25$$

اضرب -\frac{1}{4} في 4.

$$x=-1+25$$

اجمع 25 مع -1.

$$x=24$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=24,y=4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&1\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

في المصفوفة 2\times 2 في هذا المثال \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة هي \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمسألة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-2}&-\frac{1}{4\times 2-2}\\-\frac{2}{4\times 2-2}&\frac{4}{4\times 2-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{6}\\-\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\56\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 100-\frac{1}{6}\times 56\\-\frac{1}{3}\times 100+\frac{2}{3}\times 56\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=24,y=4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+y=100,2x+2y=56$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2y=2\times 100,4\times 2x+4\times 2y=4\times 56$$

تبسيط.

$$8x+2y=200,8x+8y=224$$

اطرح 8x+8y=224 من 8x+2y=200 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+2y-8y=200-224$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$2y-8y=200-224$$

اجمع 2y مع -8y.

$$-6y=200-224$$

اجمع 200 مع -224.

$$-6y=-24$$

قسمة طرفي المعادلة على -6.

$$y=4$$

عوّض عن y بالقيمة 4 في 2x+2y=56. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x+2\times 4=56$$

اضرب 2 في 4.

$$2x+8=56$$

اطرح 8 من طرفي المعادلة.

$$2x=48$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=24$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=24,y=4$$