حل {l}{4x+9y=-16}{10x+6y=26}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 9 y = - 16 } \\ { 10 x + 6 y = 26 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=5$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+9y=-16$$

اطرح 9y من طرفي المعادلة.

$$4x=-9y-16$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-9y-16\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -9y-16.

$$x=-\frac{9}{4}y-4$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{9y}{4}-4 في المعادلة الأخرى، 10x+6y=26.

$$10\left(-\frac{9}{4}y-4\right)+6y=26$$

اضرب 10 في -\frac{9y}{4}-4.

$$-\frac{45}{2}y-40+6y=26$$

اجمع -\frac{45y}{2} مع 6y.

$$-\frac{33}{2}y-40=26$$

أضف 40 إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{33}{2}y=66$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{33}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=-\frac{9}{4}y-4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{9}{4}\left(-4\right)-4$$

اضرب -\frac{9}{4} في -4.

$$x=9-4$$

اجمع -4 مع 9.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&9\\10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-9\times 10}&-\frac{9}{4\times 6-9\times 10}\\-\frac{10}{4\times 6-9\times 10}&\frac{4}{4\times 6-9\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}&\frac{3}{22}\\\frac{5}{33}&-\frac{2}{33}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-16\\26\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{11}\left(-16\right)+\frac{3}{22}\times 26\\\frac{5}{33}\left(-16\right)-\frac{2}{33}\times 26\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=5,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+9y=-16,10x+6y=26$$

لجعل 4x و10x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 10 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$10\times 4x+10\times 9y=10\left(-16\right),4\times 10x+4\times 6y=4\times 26$$

تبسيط.

$$40x+90y=-160,40x+24y=104$$

اطرح 40x+24y=104 من 40x+90y=-160 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$40x-40x+90y-24y=-160-104$$

اجمع 40x مع -40x. حذف الحدين 40x و-40x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$90y-24y=-160-104$$

اجمع 90y مع -24y.

$$66y=-160-104$$

اجمع -160 مع -104.

$$66y=-264$$

قسمة طرفي المعادلة على 66.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في 10x+6y=26. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$10x+6\left(-4\right)=26$$

اضرب 6 في -4.

$$10x-24=26$$

أضف 24 إلى طرفي المعادلة.

$$10x=50$$

قسمة طرفي المعادلة على 10.

$$x=5$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=5,y=-4$$