حل {l}{4x+7y=2}{5x+6y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 7 y = 2 } \\ { 5 x + 6 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{16}{11} = 1\frac{5}{11} \approx 1.454545455$$

$$y=-\frac{6}{11}\approx -0.545454545$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+7y=2$$

اطرح 7y من طرفي المعادلة.

$$4x=-7y+2$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-7y+2\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -7y+2.

$$x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2} في المعادلة الأخرى، 5x+6y=4.

$$5\left(-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}\right)+6y=4$$

اضرب 5 في -\frac{7y}{4}+\frac{1}{2}.

$$-\frac{35}{4}y+\frac{5}{2}+6y=4$$

اجمع -\frac{35y}{4} مع 6y.

$$-\frac{11}{4}y+\frac{5}{2}=4$$

اطرح \frac{5}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{4}y=\frac{3}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{6}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{6}{11} في x=-\frac{7}{4}y+\frac{1}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{7}{4}\left(-\frac{6}{11}\right)+\frac{1}{2}$$

اضرب -\frac{7}{4} في -\frac{6}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{21}{22}+\frac{1}{2}$$

اجمع \frac{1}{2} مع \frac{21}{22} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{16}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&7\\5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{4\times 6-7\times 5}&-\frac{7}{4\times 6-7\times 5}\\-\frac{5}{4\times 6-7\times 5}&\frac{4}{4\times 6-7\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}&\frac{7}{11}\\\frac{5}{11}&-\frac{4}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{11}\times 2+\frac{7}{11}\times 4\\\frac{5}{11}\times 2-\frac{4}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{11}\\-\frac{6}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+7y=2,5x+6y=4$$

لجعل 4x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$5\times 4x+5\times 7y=5\times 2,4\times 5x+4\times 6y=4\times 4$$

تبسيط.

$$20x+35y=10,20x+24y=16$$

اطرح 20x+24y=16 من 20x+35y=10 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+35y-24y=10-16$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$35y-24y=10-16$$

اجمع 35y مع -24y.

$$11y=10-16$$

اجمع 10 مع -16.

$$11y=-6$$

قسمة طرفي المعادلة على 11.

$$y=-\frac{6}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{6}{11} في 5x+6y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x+6\left(-\frac{6}{11}\right)=4$$

اضرب 6 في -\frac{6}{11}.

$$5x-\frac{36}{11}=4$$

أضف \frac{36}{11} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{80}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{16}{11}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{16}{11},y=-\frac{6}{11}$$