حل {l}{4x+5y=8}{-x+2y=-15}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 8 } \\ { - x + 2 y = - 15 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=7$$

$$y=-4$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=8$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y+8$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+8\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y+8.

$$x=-\frac{5}{4}y+2$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4}+2 في المعادلة الأخرى، -x+2y=-15.

$$-\left(-\frac{5}{4}y+2\right)+2y=-15$$

اضرب -1 في -\frac{5y}{4}+2.

$$\frac{5}{4}y-2+2y=-15$$

اجمع \frac{5y}{4} مع 2y.

$$\frac{13}{4}y-2=-15$$

أضف 2 إلى طرفي المعادلة.

$$\frac{13}{4}y=-13$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{13}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في x=-\frac{5}{4}y+2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-4\right)+2$$

اضرب -\frac{5}{4} في -4.

$$x=5+2$$

اجمع 2 مع 5.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-4$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{4\times 2-5\left(-1\right)}&-\frac{5}{4\times 2-5\left(-1\right)}\\-\frac{-1}{4\times 2-5\left(-1\right)}&\frac{4}{4\times 2-5\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&-\frac{5}{13}\\\frac{1}{13}&\frac{4}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-15\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 8-\frac{5}{13}\left(-15\right)\\\frac{1}{13}\times 8+\frac{4}{13}\left(-15\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\-4\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=7,y=-4$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=8,-x+2y=-15$$

لجعل 4x و-x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-4x-5y=-8,4\left(-1\right)x+4\times 2y=4\left(-15\right)$$

تبسيط.

$$-4x-5y=-8,-4x+8y=-60$$

اطرح -4x+8y=-60 من -4x-5y=-8 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-4x+4x-5y-8y=-8+60$$

اجمع -4x مع 4x. حذف الحدين -4x و4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-5y-8y=-8+60$$

اجمع -5y مع -8y.

$$-13y=-8+60$$

اجمع -8 مع 60.

$$-13y=52$$

قسمة طرفي المعادلة على -13.

$$y=-4$$

عوّض عن y بالقيمة -4 في -x+2y=-15. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-x+2\left(-4\right)=-15$$

اضرب 2 في -4.

$$-x-8=-15$$

أضف 8 إلى طرفي المعادلة.

$$-x=-7$$

قسمة طرفي المعادلة على -1.

$$x=7$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=7,y=-4$$