حل {l}{4x+5y=3}{2x-3y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 3 } \\ { 2 x - 3 y = 4 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{29}{22} = 1\frac{7}{22} \approx 1.318181818$$

$$y=-\frac{5}{11}\approx -0.454545455$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=3$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y+3$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+3\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y+3.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+3}{4} في المعادلة الأخرى، 2x-3y=4.

$$2\left(-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}\right)-3y=4$$

اضرب 2 في \frac{-5y+3}{4}.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{3}{2}-3y=4$$

اجمع -\frac{5y}{2} مع -3y.

$$-\frac{11}{2}y+\frac{3}{2}=4$$

اطرح \frac{3}{2} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{11}{2}y=\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{11}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في x=-\frac{5}{4}y+\frac{3}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\left(-\frac{5}{11}\right)+\frac{3}{4}$$

اضرب -\frac{5}{4} في -\frac{5}{11} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{25}{44}+\frac{3}{4}$$

اجمع \frac{3}{4} مع \frac{25}{44} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{29}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\2&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4\left(-3\right)-5\times 2}&-\frac{5}{4\left(-3\right)-5\times 2}\\-\frac{2}{4\left(-3\right)-5\times 2}&\frac{4}{4\left(-3\right)-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}&\frac{5}{22}\\\frac{1}{11}&-\frac{2}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\4\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{22}\times 3+\frac{5}{22}\times 4\\\frac{1}{11}\times 3-\frac{2}{11}\times 4\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{29}{22}\\-\frac{5}{11}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=3,2x-3y=4$$

لجعل 4x و2x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 2 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$2\times 4x+2\times 5y=2\times 3,4\times 2x+4\left(-3\right)y=4\times 4$$

تبسيط.

$$8x+10y=6,8x-12y=16$$

اطرح 8x-12y=16 من 8x+10y=6 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$8x-8x+10y+12y=6-16$$

اجمع 8x مع -8x. حذف الحدين 8x و-8x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$10y+12y=6-16$$

اجمع 10y مع 12y.

$$22y=6-16$$

اجمع 6 مع -16.

$$22y=-10$$

قسمة طرفي المعادلة على 22.

$$y=-\frac{5}{11}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{5}{11} في 2x-3y=4. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$2x-3\left(-\frac{5}{11}\right)=4$$

اضرب -3 في -\frac{5}{11}.

$$2x+\frac{15}{11}=4$$

اطرح \frac{15}{11} من طرفي المعادلة.

$$2x=\frac{29}{11}$$

قسمة طرفي المعادلة على 2.

$$x=\frac{29}{22}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{29}{22},y=-\frac{5}{11}$$