حل {l}{4x+5y=1}{5x-7y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 1 } \\ { 5 x - 7 y = 1 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=\frac{12}{53}\approx 0.226415094$$

$$y=\frac{1}{53}\approx 0.018867925$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=1$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y+1$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5y+1\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y+1.

$$x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-5y+1}{4} في المعادلة الأخرى، 5x-7y=1.

$$5\left(-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}\right)-7y=1$$

اضرب 5 في \frac{-5y+1}{4}.

$$-\frac{25}{4}y+\frac{5}{4}-7y=1$$

اجمع -\frac{25y}{4} مع -7y.

$$-\frac{53}{4}y+\frac{5}{4}=1$$

اطرح \frac{5}{4} من طرفي المعادلة.

$$-\frac{53}{4}y=-\frac{1}{4}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{53}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=\frac{1}{53}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{53} في x=-\frac{5}{4}y+\frac{1}{4}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{53}+\frac{1}{4}$$

اضرب -\frac{5}{4} في \frac{1}{53} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{5}{212}+\frac{1}{4}$$

اجمع \frac{1}{4} مع -\frac{5}{212} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{12}{53}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\5&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{4\left(-7\right)-5\times 5}&-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}\\-\frac{5}{4\left(-7\right)-5\times 5}&\frac{4}{4\left(-7\right)-5\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{5}{53}\\\frac{5}{53}&-\frac{4}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7+5}{53}\\\frac{5-4}{53}\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{53}\\\frac{1}{53}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=1,5x-7y=1$$

لجعل 4x و5x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 5 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$5\times 4x+5\times 5y=5,4\times 5x+4\left(-7\right)y=4$$

تبسيط.

$$20x+25y=5,20x-28y=4$$

اطرح 20x-28y=4 من 20x+25y=5 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$20x-20x+25y+28y=5-4$$

اجمع 20x مع -20x. حذف الحدين 20x و-20x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$25y+28y=5-4$$

اجمع 25y مع 28y.

$$53y=5-4$$

اجمع 5 مع -4.

$$53y=1$$

قسمة طرفي المعادلة على 53.

$$y=\frac{1}{53}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{53} في 5x-7y=1. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$5x-7\times \frac{1}{53}=1$$

اضرب -7 في \frac{1}{53}.

$$5x-\frac{7}{53}=1$$

أضف \frac{7}{53} إلى طرفي المعادلة.

$$5x=\frac{60}{53}$$

قسمة طرفي المعادلة على 5.

$$x=\frac{12}{53}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{12}{53},y=\frac{1}{53}$$