حل {l}{4x+5y=0}{8x-15y=-5}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 5 y = 0 } \\ { 8 x - 15 y = - 5 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=-\frac{1}{4}=-0.25$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+5y=0$$

اطرح 5y من طرفي المعادلة.

$$4x=-5y$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-5\right)y$$

اضرب \frac{1}{4} في -5y.

$$x=-\frac{5}{4}y$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{5y}{4} في المعادلة الأخرى، 8x-15y=-5.

$$8\left(-\frac{5}{4}\right)y-15y=-5$$

اضرب 8 في -\frac{5y}{4}.

$$-10y-15y=-5$$

اجمع -10y مع -15y.

$$-25y=-5$$

قسمة طرفي المعادلة على -25.

$$y=\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{5} في x=-\frac{5}{4}y. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{5}{4}\times \frac{1}{5}$$

اضرب -\frac{5}{4} في \frac{1}{5} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=-\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&5\\8&-15\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{4\left(-15\right)-5\times 8}&-\frac{5}{4\left(-15\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{4\left(-15\right)-5\times 8}&\frac{4}{4\left(-15\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{20}&\frac{1}{20}\\\frac{2}{25}&-\frac{1}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-5\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{20}\left(-5\right)\\-\frac{1}{25}\left(-5\right)\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+5y=0,8x-15y=-5$$

لجعل 4x و8x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 8 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$8\times 4x+8\times 5y=0,4\times 8x+4\left(-15\right)y=4\left(-5\right)$$

تبسيط.

$$32x+40y=0,32x-60y=-20$$

اطرح 32x-60y=-20 من 32x+40y=0 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$32x-32x+40y+60y=20$$

اجمع 32x مع -32x. حذف الحدين 32x و-32x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$40y+60y=20$$

اجمع 40y مع 60y.

$$100y=20$$

قسمة طرفي المعادلة على 100.

$$y=\frac{1}{5}$$

عوّض عن y بالقيمة \frac{1}{5} في 8x-15y=-5. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$8x-15\times \frac{1}{5}=-5$$

اضرب -15 في \frac{1}{5}.

$$8x-3=-5$$

أضف 3 إلى طرفي المعادلة.

$$8x=-2$$

قسمة طرفي المعادلة على 8.

$$x=-\frac{1}{4}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=-\frac{1}{4},y=\frac{1}{5}$$