حل {l}{4x+4y=280}{4x+1y=124}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 4 y = 280 } \\ { 4 x + 1 y = 124 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=18$$

$$y=52$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+4y=280$$

اطرح 4y من طرفي المعادلة.

$$4x=-4y+280$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-4y+280\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -4y+280.

$$x=-y+70$$

عوّض عن x بالقيمة -y+70 في المعادلة الأخرى، 4x+y=124.

$$4\left(-y+70\right)+y=124$$

اضرب 4 في -y+70.

$$-4y+280+y=124$$

اجمع -4y مع y.

$$-3y+280=124$$

اطرح 280 من طرفي المعادلة.

$$-3y=-156$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$y=52$$

عوّض عن y بالقيمة 52 في x=-y+70. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-52+70$$

اجمع 70 مع -52.

$$x=18$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=18,y=52$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-4\times 4}&-\frac{4}{4-4\times 4}\\-\frac{4}{4-4\times 4}&\frac{4}{4-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}280\\124\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{12}\times 280+\frac{1}{3}\times 124\\\frac{1}{3}\times 280-\frac{1}{3}\times 124\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\52\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=18,y=52$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+4y=280,4x+y=124$$

اطرح 4x+y=124 من 4x+4y=280 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+4y-y=280-124$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$4y-y=280-124$$

اجمع 4y مع -y.

$$3y=280-124$$

اجمع 280 مع -124.

$$3y=156$$

قسمة طرفي المعادلة على 3.

$$y=52$$

عوّض عن y بالقيمة 52 في 4x+y=124. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$4x+52=124$$

اطرح 52 من طرفي المعادلة.

$$4x=72$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=18$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=18,y=52$$