حل {l}{4x+3y=18}{x+5y=2}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 3 y = 18 } \\ { x + 5 y = 2 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{84}{17} = 4\frac{16}{17} \approx 4.941176471$$

$$y=-\frac{10}{17}\approx -0.588235294$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+3y=18$$

اطرح 3y من طرفي المعادلة.

$$4x=-3y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-3y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -3y+18.

$$x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{3y}{4}+\frac{9}{2} في المعادلة الأخرى، x+5y=2.

$$-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}+5y=2$$

اجمع -\frac{3y}{4} مع 5y.

$$\frac{17}{4}y+\frac{9}{2}=2$$

اطرح \frac{9}{2} من طرفي المعادلة.

$$\frac{17}{4}y=-\frac{5}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{17}{4}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{10}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{10}{17} في x=-\frac{3}{4}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{3}{4}\left(-\frac{10}{17}\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{3}{4} في -\frac{10}{17} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{15}{34}+\frac{9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع \frac{15}{34} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{84}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&3\\1&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{4\times 5-3}&-\frac{3}{4\times 5-3}\\-\frac{1}{4\times 5-3}&\frac{4}{4\times 5-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}&-\frac{3}{17}\\-\frac{1}{17}&\frac{4}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\2\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{17}\times 18-\frac{3}{17}\times 2\\-\frac{1}{17}\times 18+\frac{4}{17}\times 2\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{84}{17}\\-\frac{10}{17}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+3y=18,x+5y=2$$

لجعل 4x وx متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 1 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$4x+3y=18,4x+4\times 5y=4\times 2$$

تبسيط.

$$4x+3y=18,4x+20y=8$$

اطرح 4x+20y=8 من 4x+3y=18 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$4x-4x+3y-20y=18-8$$

اجمع 4x مع -4x. حذف الحدين 4x و-4x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$3y-20y=18-8$$

اجمع 3y مع -20y.

$$-17y=18-8$$

اجمع 18 مع -8.

$$-17y=10$$

قسمة طرفي المعادلة على -17.

$$y=-\frac{10}{17}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{10}{17} في x+5y=2. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x+5\left(-\frac{10}{17}\right)=2$$

اضرب 5 في -\frac{10}{17}.

$$x-\frac{50}{17}=2$$

أضف \frac{50}{17} إلى طرفي المعادلة.

$$x=\frac{84}{17}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{84}{17},y=-\frac{10}{17}$$