حل {l}{4x+2y=18}{-3x-6y=27}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 18 } \\ { - 3 x - 6 y = 27 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x=9$$

$$y=-9$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=18$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+18$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+18\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}$$

عوّض عن x بالقيمة \frac{-y+9}{2} في المعادلة الأخرى، -3x-6y=27.

$$-3\left(-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}\right)-6y=27$$

اضرب -3 في \frac{-y+9}{2}.

$$\frac{3}{2}y-\frac{27}{2}-6y=27$$

اجمع \frac{3y}{2} مع -6y.

$$-\frac{9}{2}y-\frac{27}{2}=27$$

أضف \frac{27}{2} إلى طرفي المعادلة.

$$-\frac{9}{2}y=\frac{81}{2}$$

اقسم طرفي المعادلة على -\frac{9}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في x=-\frac{1}{2}y+\frac{9}{2}. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{9}{2}$$

اضرب -\frac{1}{2} في -9.

$$x=\frac{9+9}{2}$$

اجمع \frac{9}{2} مع \frac{9}{2} من خلال إيجاد مقام مشترك وإضافة البسط. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=-9$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\-3&-6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{6}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}&\frac{4}{4\left(-6\right)-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{9}\\-\frac{1}{6}&-\frac{2}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\27\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 18+\frac{1}{9}\times 27\\-\frac{1}{6}\times 18-\frac{2}{9}\times 27\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\-9\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=9,y=-9$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=18,-3x-6y=27$$

لجعل 4x و-3x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في -3 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$-3\times 4x-3\times 2y=-3\times 18,4\left(-3\right)x+4\left(-6\right)y=4\times 27$$

تبسيط.

$$-12x-6y=-54,-12x-24y=108$$

اطرح -12x-24y=108 من -12x-6y=-54 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$-12x+12x-6y+24y=-54-108$$

اجمع -12x مع 12x. حذف الحدين -12x و12x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$-6y+24y=-54-108$$

اجمع -6y مع 24y.

$$18y=-54-108$$

اجمع -54 مع -108.

$$18y=-162$$

قسمة طرفي المعادلة على 18.

$$y=-9$$

عوّض عن y بالقيمة -9 في -3x-6y=27. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$-3x-6\left(-9\right)=27$$

اضرب -6 في -9.

$$-3x+54=27$$

اطرح 54 من طرفي المعادلة.

$$-3x=-27$$

قسمة طرفي المعادلة على -3.

$$x=9$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=9,y=-9$$