حل {l}{4x+2y=12}{7x+18y=19}

$$\left. \begin{array} { l } { 4 x + 2 y = 12 } \\ { 7 x + 18 y = 19 } \end{array} \right.$$

حل مسائل x، y

$$x = \frac{89}{29} = 3\frac{2}{29} \approx 3.068965517$$

$$y=-\frac{4}{29}\approx -0.137931034$$

خطوات استخدام التعويض

لحل زوج من المعادلات باستخدام التعويض، أولاً قم بحل إحدى المعادلات لأحد المتغيرات. ثم عوّض ناتج هذا المتغير في المعادلة الأخرى.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

اختر أحدى المعادلات وأوجد قيمة x بعزل x على يسار علامة التساوي.

$$4x+2y=12$$

اطرح 2y من طرفي المعادلة.

$$4x=-2y+12$$

قسمة طرفي المعادلة على 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2y+12\right)$$

اضرب \frac{1}{4} في -2y+12.

$$x=-\frac{1}{2}y+3$$

عوّض عن x بالقيمة -\frac{y}{2}+3 في المعادلة الأخرى، 7x+18y=19.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+3\right)+18y=19$$

اضرب 7 في -\frac{y}{2}+3.

$$-\frac{7}{2}y+21+18y=19$$

اجمع -\frac{7y}{2} مع 18y.

$$\frac{29}{2}y+21=19$$

اطرح 21 من طرفي المعادلة.

$$\frac{29}{2}y=-2$$

اقسم طرفي المعادلة على \frac{29}{2}، وذلك يساوي ضرب الطرفين في مقلوب الكسر.

$$y=-\frac{4}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{4}{29} في x=-\frac{1}{2}y+3. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-\frac{4}{29}\right)+3$$

اضرب -\frac{1}{2} في -\frac{4}{29} بضرب البسط في البسط والمقام في المقام. بعد ذلك، اختزل الكسر إلى أبسط قيمة إذا كان ذلك ممكناً.

$$x=\frac{2}{29}+3$$

اجمع 3 مع \frac{2}{29}.

$$x=\frac{89}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

خطوات استخدام المصفوفات

اجعل المعادلات في الصيغة العامة ثم استخدم المصفوفات لحل نظام المعادلات.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

اكتب المعادلات في شكل مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

قم بضرب المعادلة من اليمين بمصفوفة معكوسة لـ \left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

ناتج أي مصفوفة وعكسها هو مصفوفة المحايدة.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات من الجانب الأيسر من علامة التساوي.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\7&18\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

بالنسبة إلى المصفوفة 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)، تكون المصفوفة المعكوسة \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)، لذا يمكن إعادة كتابة معادلة المصفوفة كمشكلة ضرب مصفوفة.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{4\times 18-2\times 7}&-\frac{2}{4\times 18-2\times 7}\\-\frac{7}{4\times 18-2\times 7}&\frac{4}{4\times 18-2\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}&-\frac{1}{29}\\-\frac{7}{58}&\frac{2}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\19\end{matrix}\right)$$

اضرب المصفوفات.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{29}\times 12-\frac{1}{29}\times 19\\-\frac{7}{58}\times 12+\frac{2}{29}\times 19\end{matrix}\right)$$

إجراء الحساب.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{89}{29}\\-\frac{4}{29}\end{matrix}\right)$$

استخرج عنصري المصفوفة x وy.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$

خطوات استخدام الحذف

لحل المعادلات بالحذف، يجب أن تتماثل معاملات أحد المتغيرات في المعادلتين بحيث يتم اختصار المتغير عند طرح إحدى المعادلتين من الأخرى.

$$4x+2y=12,7x+18y=19$$

لجعل 4x و7x متساويين، اضرب كل حدود طرفي المعادلة الأولى في 7 وكل حدود طرفي المعادلة الثانية في 4.

$$7\times 4x+7\times 2y=7\times 12,4\times 7x+4\times 18y=4\times 19$$

تبسيط.

$$28x+14y=84,28x+72y=76$$

اطرح 28x+72y=76 من 28x+14y=84 عن طريق طرح الحدود المتشابهة على جانبي علامة التساوي.

$$28x-28x+14y-72y=84-76$$

اجمع 28x مع -28x. حذف الحدين 28x و-28x، لتصبح المعادلة بمتغير واحد فقط يمكن حله.

$$14y-72y=84-76$$

اجمع 14y مع -72y.

$$-58y=84-76$$

اجمع 84 مع -76.

$$-58y=8$$

قسمة طرفي المعادلة على -58.

$$y=-\frac{4}{29}$$

عوّض عن y بالقيمة -\frac{4}{29} في 7x+18y=19. لأن المعادلة الناتجة تحتوي على متغير واحد فقط، يمكنك إيجاد قيمة x مباشرةً.

$$7x+18\left(-\frac{4}{29}\right)=19$$

اضرب 18 في -\frac{4}{29}.

$$7x-\frac{72}{29}=19$$

أضف \frac{72}{29} إلى طرفي المعادلة.

$$7x=\frac{623}{29}$$

قسمة طرفي المعادلة على 7.

$$x=\frac{89}{29}$$

تم إصلاح النظام الآن.

$$x=\frac{89}{29},y=-\frac{4}{29}$$